[EX] spazio delle righe e delle colonne

[smaug1]

Ragazzi io non ho capito bene, formalmente, cosa sia lo spazio delle righe e delle colonne. Però dai risultati, ho intuito che l'esercizio deve essere interpretato così: Per lo spazio delle righe quei quattro vettori sono orizzontali $v_1 = ((1,0,-2))$ e siamo in $\bb R^3$? mente per lo spazio verticale ho che $v_1 = ((1,-1,2,0))$ in $\bb R^4$? mi potreste spiegare con più formalità questo fatto? Grazie...comunque io ho preso la matrice, ne ho fatto la riduzione a scalini di Gauss, agendo sulle righe, e mi viene:

$((1,0,-2),(0,1,1))$ dove il rango è $2$, non massimo, quindi, cosa si fa a individuare i vettori indipendenti per righe e colonne? io ho pensato prendendo dalla matrice iniziale i vettori su cui la matrice ridotta a scala ha i pivots, sia per colonna che per righe, quindi i primi due vettori, sono quelli che cerco? Sono quelli indipendenti giusto?

Cioè lo spazio delle colonne $\bb B = {((1,-1,2,0)),((0,1,1,1))}$

Mentre per le righe $\bb B = {((1,0,-2)),((-1,1,3))}$

[smaug1]

Completando l'esercizio ho:

$((1,0,-2,1),(0,1,1,2),(0,0,0,t-4),(0,0,0,2))$ il sistema è impossibile giusto?

[Seneca1]

"smaug": Per lo spazio delle righe quei quattro vettori sono orizzontali $v_1 = ((1,0,-2))$ e siamo in $\bb R^3$? mente per lo spazio verticale ho che $v_1 = ((1,-1,2,0))$ in $\bb R^4$? mi potreste spiegare con più formalità questo fatto? Grazie...comunque io ho preso la matrice, ne ho fatto la riduzione a scalini di Gauss, agendo sulle righe, e mi viene:

Lo spazio delle righe di $A$ è, per definizione, lo spazio vettoriale generato dalle righe di $A$. Sicuramente i vettori riga che formano $A$ generano lo spazio delle righe... Di quei 4 vettori devi scartare quelli "in eccesso" al fine di ottenere un sistema di generatori che sono anche linearmente indipendenti.

Trasformazioni elementari come quelle che vengono applicate per "gradinizzare" la matrice non trasformano lo spazio delle righe. Lo spazio delle righe della matrice data è lo stesso della matrice ridotta per righe.

[smaug1]

"Seneca":

Lo spazio delle righe di $A$ è, per definizione, lo spazio vettoriale generato dalle righe di $A$. Sicuramente i vettori riga che formano $A$ generano lo spazio delle righe... Di quei 4 vettori devi scartare quelli "in eccesso" al fine di ottenere un sistema di generatori che sono anche linearmente indipendenti.

Trasformazioni elementari come quelle che vengono applicate per "gradinizzare" la matrice non trasformano lo spazio delle righe. Lo spazio delle righe della matrice data è lo stesso della matrice ridotta per righe.

Quindi i vettori generatori dello spazio delle colonne non sono quelli che ho scritto? Si trovano come? riducendo a scalini la matrice agendo sulle colonne? come si fa?

[Seneca1]

Sì. Prova a farlo per le righe, intanto...

[smaug1]

"Seneca":Sì. Prova a farlo per le righe, intanto...

L'ho gia fatto, nel post ho scritto che il rango della matrice è 2...

Seneca da quello che ho visto in classe, la prof, scrive sempre e comunque i vettori in colonna, anche se agisce sulle righe (ma non fa permutazioni), siccome per il calcolo del rango questo è indifferente, però sta attenta nel scegliere i vettori, che non sono quelli ottenuti con Gauss, ma quelli di partenza su cui ci sono i pivots...però ora per esercizio che ho trovato sul libro, va bene questo procedimento in teoria? Le soluzioni che ho trovato sono quelle del libro, non ho capito...Grazie