[Ex] Spazi quozienti con la proprietà di compattezza che torna indietro

[j18eos]

Un'esercizio per chi è alla prime armi con gli spazi quozienti e la compattezza. : )

Siano \(\displaystyle X\) uno spazio topologico e \(\displaystyle\sim\) una relazione di equivalenza su(l sostegno di) \(\displaystyle X\), indicati con \(\displaystyle\widetilde{X}\) (il sostegno del)lo spazio topologico quoziente di \(\displaystyle X\) mediante \(\displaystyle\sim\) e \(\displaystyle\pi\) la proiezione canonica di \(\displaystyle X\) su \(\displaystyle\widetilde{X}\), si supponga che:
[list=a]
[*:44p8mo8v]\(\displaystyle\widetilde{X}\) sia uno spazio topologico compatto;[/*:m:44p8mo8v]
[*:44p8mo8v]\(\displaystyle\pi\) sia un'applicazione aperta[nota]Se \(\displaystyle A\subseteq X\) è aperto allora \(\displaystyle\pi(A)\subseteq\widetilde{X}\) è aperto.[/nota];[/*:m:44p8mo8v]
[*:44p8mo8v]\(\displaystyle\pi\) sia \(\displaystyle\sim\)-saturata[nota]Un sottoinsieme \(\displaystyle A\) di \(\displaystyle X\) è aperto se e solo se \(\displaystyle\pi(A)\) è aperto in \(\displaystyle\widetilde{X}\) e \(\displaystyle A=\pi^{-1}(\pi(A))\).[/nota][/*:m:44p8mo8v][/list:o:44p8mo8v]
Dimostrare che: \(\displaystyle X\) è uno spazio topologico compatto! [ot]L'esercizio nasce ieri, mentre stavo affrontando un problema coi sottogruppi di Lie massimali compatti per la tesi; il problema l'ho risolto oggi! [/ot]

[Federico7771]

Uno spazio spazio topologico è detto compatto se $AA$ $R=uuu_{i} A_i$ t.c. $R=X$ , $EE$ un sottoricoprimento $R'$ t.c. $R'=uuu_{i in I} A_i=X$ con $I={1,...,n}$ e $A_i$ aperto in $X$

Quindi preso un arbitrario $R=uuu_{i} A_i=uuu_{i} \pi^{-1}(\pi(A_i))= \pi^{-1}(uuu_{i} (\pi(A_i)))=$
Da $uuu_{i} (\pi(A_i))$ estraggo un sottoricoprimento finito dato che $\pi(A_i)$ sono degli aperti e che il quoziente è compatto
$=\pi^{-1}(uuu_{i in I} (\pi(A_i)))=uuu_{i in I} \pi^{-1}(\pi(A_i))=uuu_{i in I} A_i=R'$

Secondo me ho fatto qualche errore cretino perché mi è sembrato troppo facile

[j18eos]

Sembra tutto corretto!

Rilancio: fornire un esempio (possibilmente non "banale") in cui \(\displaystyle X\) e \(\displaystyle\widetilde{X}\) non sono omeomorfi!

[j18eos]

Ti sei espresso in una maniera terribile, ma il ragionamento è quello; se puoi leggermente sistemarlo, grazie!

Riguardo al rilancio, se si prende uno spazio topologico con topologia banale il cui sostegno abbia almeno due punti e lo si quozienta rispetto alla relazione di equivalenza totale, si crea uno spazio topologico quoziente non omeomorfo a quello di partenza; un esempio meno banale riuscite a trovarlo? Basta fare un disegnino!