[EX] Ogni spazio topologico compatto è compatto per successioni
Propongo il seguente esercizio:
Teorema Falso:
Sia \( (X , \tau) \) uno spazio topologico compatto. Sia \( \{x_n\}_{n\ge 0} \subset X \). Allora esistono una sottosuccessione \( \{x_{n_k}\}_{k \ge 0 } \subset \{x_n\}_{n\ge 0} \) e $x \in X$ tali che
\[ x_{n_k} \overset{k \to + \infty }{\to} x. \]
Dimostrazione Falsa:
Sia \( \{x_n\}_{n\ge 0} \subset X \) e supponiamo per assurdo che non ammetta sottosuccessioni convergenti. Allora per ogni $x \in X$ esiste un intorno aperto di $x$ tale che la successione è definitivamente esterna a tale intorno. Siccome $X$ è compatto esiste un numero finito di tali intorni che ricopre $X$. Allora la successione è definitivamente esterna a tutto $X$. Assurdo.
Dove è l'errore? Perché?
Teorema Falso:
Sia \( (X , \tau) \) uno spazio topologico compatto. Sia \( \{x_n\}_{n\ge 0} \subset X \). Allora esistono una sottosuccessione \( \{x_{n_k}\}_{k \ge 0 } \subset \{x_n\}_{n\ge 0} \) e $x \in X$ tali che
\[ x_{n_k} \overset{k \to + \infty }{\to} x. \]
Dimostrazione Falsa:
Sia \( \{x_n\}_{n\ge 0} \subset X \) e supponiamo per assurdo che non ammetta sottosuccessioni convergenti. Allora per ogni $x \in X$ esiste un intorno aperto di $x$ tale che la successione è definitivamente esterna a tale intorno. Siccome $X$ è compatto esiste un numero finito di tali intorni che ricopre $X$. Allora la successione è definitivamente esterna a tutto $X$. Assurdo.
Dove è l'errore? Perché?
Risposte
@arnett
L'idea è corretta, ma ci vuole un controesempio
La teoria dei filtri non è necessaria, non saprei se aiuta!
L'idea è corretta, ma ci vuole un controesempio
La teoria dei filtri non è necessaria, non saprei se aiuta!
@arnett
Comunque complimenti per la pronta risposta! Sono deciso a mettere uno-due esercizi alla settimana in modo da ravvivare un po' la situazione che troppo spesso vira verso l'esclusivo aiuto compiti. Chissà per quanto manterrò questo proposito
Comunque complimenti per la pronta risposta! Sono deciso a mettere uno-due esercizi alla settimana in modo da ravvivare un po' la situazione che troppo spesso vira verso l'esclusivo aiuto compiti. Chissà per quanto manterrò questo proposito
Bellino questo problema. Per un momento mi hai fregato, confondendo "definitivamente" e "per infiniti indici", un vecchio trucco ma ci casco ancora. Per questo mi è piaciuto l'esercizio.
Quanto al controesempio, anche la sfera unitaria di \(L^1(\mathbb R)\) con la topologia debole-star lo è. Si tratta di uno spazio topologico compatto, perché si può realizzare come uno strampalato prodotto topologico di compatti, e quindi è compatto per Tychonoff (vedere Eidelman-Milman-Tsolomitis). Ma non è sequenzialmente compatto; ciò implicherebbe che \(L^1(\mathbb R)\) è riflessivo. In effetti andrebbe bene un qualsiasi spazio di Banach non riflessivo, in luogo di \(L^1(\mathbb R)\). E in fondo è sempre lo stesso esempio di arnett; una roba che è compatta per Tychonoff, ma non è "davvero" compatta.
Quanto al controesempio, anche la sfera unitaria di \(L^1(\mathbb R)\) con la topologia debole-star lo è. Si tratta di uno spazio topologico compatto, perché si può realizzare come uno strampalato prodotto topologico di compatti, e quindi è compatto per Tychonoff (vedere Eidelman-Milman-Tsolomitis). Ma non è sequenzialmente compatto; ciò implicherebbe che \(L^1(\mathbb R)\) è riflessivo. In effetti andrebbe bene un qualsiasi spazio di Banach non riflessivo, in luogo di \(L^1(\mathbb R)\). E in fondo è sempre lo stesso esempio di arnett; una roba che è compatta per Tychonoff, ma non è "davvero" compatta.
Cavolo mi piacciono queste discussioni ma ormai è stato detto più o meno quello che avrei detto anche io.
Però visto che ci sono intervengo lo stesso
Anche io tempo fa avevo avuto la stessa idea, non so se ti ricordi. Sono durato un esercizio solo
Ma come mai non sarebbe compatto per successioni? Come la compattezza per successioni implicherebbe la riflessività dello spazio?
Si che è compatta
Però visto che ci sono intervengo lo stesso
"Bremen000":
Sono deciso a mettere uno-due esercizi alla settimana in modo da ravvivare un po' la situazione che troppo spesso vira verso l'esclusivo aiuto compiti. Chissà per quanto manterrò questo proposito
Anche io tempo fa avevo avuto la stessa idea, non so se ti ricordi. Sono durato un esercizio solo
"dissonance":
Quanto al controesempio, anche la sfera unitaria di \( L^1(\mathbb R) \) con la topologia debole-star lo è. Si tratta di uno spazio topologico compatto, perché si può realizzare come uno stampalato prodotto topologico di compatti, e quindi è compatto per Tychonoff (vedere Eidelman-Milman-Tsolomitis). Ma non è sequenzialmente compatto; ciò implicherebbe che $L^1(RR)$ è riflessivo.
Ma come mai non sarebbe compatto per successioni? Come la compattezza per successioni implicherebbe la riflessività dello spazio?
E in fondo è sempre lo stesso esempio di arnett; una roba che è compatta per Tychonoff, ma non è "davvero" compatta.
Si che è compatta
"otta96":
[...] Anche io tempo fa avevo avuto la stessa idea, non so se ti ricordi. Sono durato un esercizio solo
Si mi ricordo! Be' per adesso siamo pari
"otta96":
[...]
Si che è compatta
E non fare il geometra....
Non sono stato chiaro nel mio post precedente. Quello che volevo dire è tutto nella pagina di Wikipedia:
https://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2 ... lu_theorem
(la compattezza che uno può davvero usare nelle applicazioni alle PDE e al calcolo variazionale è quella sequenziale).
Quanto agli spazi riflessivi e non, è tutto scritto qui:
https://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2 ... nsequences
https://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2 ... lu_theorem
(la compattezza che uno può davvero usare nelle applicazioni alle PDE e al calcolo variazionale è quella sequenziale).
Quanto agli spazi riflessivi e non, è tutto scritto qui:
https://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2 ... nsequences
"Bremen000":
E non fare il geometra....
Non faccio il geometra faccio il matematico.
Il "teorema" sarebbe vero se si aggiunge l'ipotesi che lo spazio sia primo numerabile.
Il mio esempio[nota]A mio parere, il più facile che io conosca.[/nota]: \(\displaystyle(I=[0,1],\mathcal{T}_{nat})\), su \(\displaystyle I^I\) si consideri la topologia prodotto; per il teorema di Tikhonov questi è uno spazio compatto, ma non né \(\displaystyle\mathrm{N}_1\) e né compatto per successioni.
Il mio esempio[nota]A mio parere, il più facile che io conosca.[/nota]: \(\displaystyle(I=[0,1],\mathcal{T}_{nat})\), su \(\displaystyle I^I\) si consideri la topologia prodotto; per il teorema di Tikhonov questi è uno spazio compatto, ma non né \(\displaystyle\mathrm{N}_1\) e né compatto per successioni.
Tra l'altro sapere quando una potenza di $I$ è compatta per successioni è molto più complicato di quanto si pensi.
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