[ex] Nucleo di F(p(x)) = p(x)-p(x-1)

[jitter1]

Ho un'applicazione lineare da $ R[x]_d $ in $R[x]_(d-1)$ così definita:

$F(p(x)) = p(x)-p(x-1)$.

Devo dimostrare che è suriettiva.
Sarà suriettiva se risulterà che dim ImF = dim $K[x]_(d-1)$ = d. Per determinare dim ImF, cerco dim kerF. Ma finisco in calcoli che non riesco a svolgere.
I polinomi del nucleo sono quelli per i quali si ha $ p(x) = p(x-1)$
Scrivendo "per esteso" i polinomi ai due membri:


$p_0+p_1x+...+p_n x^n = p_0 + .... + p_i (x-1)^i+ ...... $

$p_0+p_1x+...+p_n x^n = p_0 + .... + p_i ( (i), (j) ) x^(i-j)(-1)^j + ...... $

Non so però procedere oltre, o forse la strada è un'altra. Qualche suggerimento....?

[Pappappero1]

Premetto che non ho fatto nessun conto. Quello che scrivo è solo un'idea. Bisogna innanzitutto scrivere per bene le sommatorie. Ogni binomio $(x-1)^i$ si sviluppa con la formula del binomio di newton; poi si rimescolano i monomi per raccogliere quelli con lo stesso esponente. Eguagliando le due espressioni, si dovrebbe ottenere un sistema lineare triangolare, in cui si dovrebbe vedere facilmente una sola soluzione non banale (tipo con tutti $1$ sulla diagonale eccetto uno zero; una cosa del genere). Ripeto: non ho fatto i conti e tutto quello che ho detto potrebbe essere falso.

[jitter1]

Avevo provato, solo che non ne ero riuscita a riordinare i monomi.

[Paolo902]

Butto lì un'idea: se $p$ sta nel nucleo allora $p(x)-p(x-1) \equiv 0$. Chiama $q(x):=p(x)-p(0)$. $q$ è chiaramente un polinomio in $RR_d[x]$ e si annulla ad esempio in ogni intero positivo:
\[
q(0)= p(0)-p(0) = 0 \\
q(1) = p(1)-p(0) = p(0)-p(0)= 0\\
q(n) = p(n)-p(0) = p(n-1) -p(0) = \ldots = p(0)-p(0)=0
\]

La tesi a questo punto segue dal thm fondamentale dell'algebra.

[jitter1]

Quindi hai costruito un polinomio $ q(x) = p(x) - p(0) $ e hai mostrato che ha almeno $n+1$ radici (cioè i naturali da 0 a n). Ma q(x) ha grado n e non n+1, quindi deve essere nullo. Ma se q(x) è nullo, p(x) = p(0). Questo però significa che p(x) è uguale al suo termine noto, e quindi dentro al nucleo ci sono i polinomi di grado 0, perciò dim kerF = 1, da cui la conclusione. .... Ho capito giusto?

[Paolo902]

Si', esatto.