[Ex] - Fasci di coniche
Sto andando un po' avanti da solo con il programma, ma c'è un esercizio che non riesco a svolgere. Si tratta sicuramente di una banalità, ma al momento non riesco ad utilizzare le condizioni che vengono date.
Vien detto: si consideri il fascio di coniche di \(\displaystyle \mathbb{P}^2(K) \) definito dalle condizioni che il punto \(\displaystyle (1 \ 0 \ 0)^t \) sia polo della retta \(\displaystyle X_{0}=0 \) e il punto \(\displaystyle (1 \ 1 \ 1)^t \) sia polo della retta \(\displaystyle X_{0}+X_{1}=0 \).
Scrivere la matrice del fascio in questione.
Come mi muovo?
Ringrazio.
Vien detto: si consideri il fascio di coniche di \(\displaystyle \mathbb{P}^2(K) \) definito dalle condizioni che il punto \(\displaystyle (1 \ 0 \ 0)^t \) sia polo della retta \(\displaystyle X_{0}=0 \) e il punto \(\displaystyle (1 \ 1 \ 1)^t \) sia polo della retta \(\displaystyle X_{0}+X_{1}=0 \).
Scrivere la matrice del fascio in questione.
Come mi muovo?
Ringrazio.
Risposte
Forse esistono metodi più raffinati ma io andrei sul calcolo diretto. Chiamo M la matrice ( simmetrica) richiesta :
\(\displaystyle M=\begin{pmatrix} a&b&c\\b&d&e\\c&e&f \end{pmatrix} \)
Indi calcolo la polare del generico punto \(\displaystyle ^t (X'_o,X'_1,X'_2) \) con la formula :
\(\displaystyle (X'_o,X'_1,X'_2)\cdot M \cdot ^t(X_o,X_1.X_2)=0 \)
Nel caso di \(\displaystyle ^t(1,0,0) \) ho l'equazione : \(\displaystyle aX_o+bX_1+cX_2=0=0 \) che coincide con \(\displaystyle X_o=0 \) sse risulta : \(\displaystyle b=c=0 \)
Nel caso di \(\displaystyle ^t(1,1,1) \) ho l'equazione : \(\displaystyle aX_o+(d+e)X_1+( e+f)X_2=0 \) che coincide con \(\displaystyle X_o+X_1=0 \) sse risulta : \(\displaystyle a=d+e;e+f=0 \) . da cui si trae : \(\displaystyle f=-e;a=d+e \)
In conseguenza la matrice M è bella e trovata :
\(\displaystyle M=\begin{pmatrix} d+e&0&0\\0&d&e\\0&e&-e \end{pmatrix} \)
\(\displaystyle M=\begin{pmatrix} a&b&c\\b&d&e\\c&e&f \end{pmatrix} \)
Indi calcolo la polare del generico punto \(\displaystyle ^t (X'_o,X'_1,X'_2) \) con la formula :
\(\displaystyle (X'_o,X'_1,X'_2)\cdot M \cdot ^t(X_o,X_1.X_2)=0 \)
Nel caso di \(\displaystyle ^t(1,0,0) \) ho l'equazione : \(\displaystyle aX_o+bX_1+cX_2=0=0 \) che coincide con \(\displaystyle X_o=0 \) sse risulta : \(\displaystyle b=c=0 \)
Nel caso di \(\displaystyle ^t(1,1,1) \) ho l'equazione : \(\displaystyle aX_o+(d+e)X_1+( e+f)X_2=0 \) che coincide con \(\displaystyle X_o+X_1=0 \) sse risulta : \(\displaystyle a=d+e;e+f=0 \) . da cui si trae : \(\displaystyle f=-e;a=d+e \)
In conseguenza la matrice M è bella e trovata :
\(\displaystyle M=\begin{pmatrix} d+e&0&0\\0&d&e\\0&e&-e \end{pmatrix} \)
Se i due punti appartengo alla loro polare, allora appartengono alla conica.
In tal caso la polare è la retta tangente, quindi puoi costruire il fascio bitangente nei due punti considerati.
In tal caso la polare è la retta tangente, quindi puoi costruire il fascio bitangente nei due punti considerati.
Leggendo la risposta di mistake mi verrebbe da dire "che se mio nonno non moriva a quest'ora avrebbe avuto 200 anni " !! 
Si dà il caso che nel nostro problema nessuno dei due poli appartiene alla corrispondente polare e dunque non appartiene alla conica in questione...
Aggiungo qualche ulteriore considerazione. Le due polari date s'intersecano nel punto \(\displaystyle (0,0,1) \) e, per la legge di reciprocità, la polare di tale intersezione è la retta congiungente i due poli dati. Tale congiungente ha equazione :
(A) \(\displaystyle X_1-X_ 2=0\)
Ora una verifica della giustezza di tale calcolo di può avere usando la formula della polare che nel nostro caso diventa :
\(\displaystyle (0,0,1)\cdot M\cdot ^t(X_o,X_1,X_2)=0 \)
Ovvero :
\(\displaystyle (0,0,1)\cdot \begin{pmatrix}d-e&0&0\\0&d&e\\0&e&-e\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}X_o\\X_1\\X_2\end{pmatrix}=0\)
Facendo i calcoli si trova esattamente la (A) .
Si dà il caso che nel nostro problema nessuno dei due poli appartiene alla corrispondente polare e dunque non appartiene alla conica in questione...Aggiungo qualche ulteriore considerazione. Le due polari date s'intersecano nel punto \(\displaystyle (0,0,1) \) e, per la legge di reciprocità, la polare di tale intersezione è la retta congiungente i due poli dati. Tale congiungente ha equazione :
(A) \(\displaystyle X_1-X_ 2=0\)
Ora una verifica della giustezza di tale calcolo di può avere usando la formula della polare che nel nostro caso diventa :
\(\displaystyle (0,0,1)\cdot M\cdot ^t(X_o,X_1,X_2)=0 \)
Ovvero :
\(\displaystyle (0,0,1)\cdot \begin{pmatrix}d-e&0&0\\0&d&e\\0&e&-e\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}X_o\\X_1\\X_2\end{pmatrix}=0\)
Facendo i calcoli si trova esattamente la (A) .
Bene, grazie.
Supponiamo ora che i punti dati dal testo siano rispettivamente \(\displaystyle (0 \ 1 \ 0)^t \) e \(\displaystyle (1 \ -1 \ 0)^t \), tanto per levarmi anche quest'altro dubbio. Per quanto dice mistake89 le due rette date sono tangenti alle coniche nei due punti qui sopra. Voglio sfruttare queste informazioni per ricavare la matrice del fascio bitangente.
Si sa che le coniche degeneri di questo fascio sono due: (una conica degenere che si spezza in) una retta doppia passante/i per i punti di tangenza e (una conica degenere che si spezza nel)le due rette tangenti. Da queste dovrei poter ricostruire l'intero fascio: detti \(\displaystyle \lambda \) e \(\displaystyle \mu \) due parametri, dovrebbe aversi \[\displaystyle \lambda X_{0}(X_{0} + X_{1}) + \mu X_{2} ^2=0 \] da cui poi ricostruisco la matrice. Dico bene?
Altra domanda: considero il fascio di coniche passanti per il punto \(\displaystyle A=(0 \ 0 \ 1)^t \) e osculatrici nel punto \(\displaystyle B=(1 \ 0 \ 0)^t \) alla conica di equazione \(\displaystyle \mathcal{C} : 2X_{0} X_{2} =X_{1} ^2 \); voglio trovare la matrice del fascio di coniche osculatrici.
Noto intanto che \(\displaystyle A \in \mathcal{C} \), quindi \(\displaystyle \mathcal{C} \) appartiene al fascio di coniche che sto cercando; per poter concludere mi serve la retta tangente a \(\displaystyle \mathcal{C} \) in \(\displaystyle B \).
Pensavo di operare siffattamente: sia \(\displaystyle M \) la matrice associata a \(\displaystyle \mathcal{C} \); \[\displaystyle (X_{0} \ X_{1} \ X_{2}) M B=0 \] dovrebbe restituirmi l'equazione della retta tangente alla conica in \(\displaystyle B \). Anche qui, dico bene?
Supponiamo ora che i punti dati dal testo siano rispettivamente \(\displaystyle (0 \ 1 \ 0)^t \) e \(\displaystyle (1 \ -1 \ 0)^t \), tanto per levarmi anche quest'altro dubbio. Per quanto dice mistake89 le due rette date sono tangenti alle coniche nei due punti qui sopra. Voglio sfruttare queste informazioni per ricavare la matrice del fascio bitangente.
Si sa che le coniche degeneri di questo fascio sono due: (una conica degenere che si spezza in) una retta doppia passante/i per i punti di tangenza e (una conica degenere che si spezza nel)le due rette tangenti. Da queste dovrei poter ricostruire l'intero fascio: detti \(\displaystyle \lambda \) e \(\displaystyle \mu \) due parametri, dovrebbe aversi \[\displaystyle \lambda X_{0}(X_{0} + X_{1}) + \mu X_{2} ^2=0 \] da cui poi ricostruisco la matrice. Dico bene?
Altra domanda: considero il fascio di coniche passanti per il punto \(\displaystyle A=(0 \ 0 \ 1)^t \) e osculatrici nel punto \(\displaystyle B=(1 \ 0 \ 0)^t \) alla conica di equazione \(\displaystyle \mathcal{C} : 2X_{0} X_{2} =X_{1} ^2 \); voglio trovare la matrice del fascio di coniche osculatrici.
Noto intanto che \(\displaystyle A \in \mathcal{C} \), quindi \(\displaystyle \mathcal{C} \) appartiene al fascio di coniche che sto cercando; per poter concludere mi serve la retta tangente a \(\displaystyle \mathcal{C} \) in \(\displaystyle B \).
Pensavo di operare siffattamente: sia \(\displaystyle M \) la matrice associata a \(\displaystyle \mathcal{C} \); \[\displaystyle (X_{0} \ X_{1} \ X_{2}) M B=0 \] dovrebbe restituirmi l'equazione della retta tangente alla conica in \(\displaystyle B \). Anche qui, dico bene?
Mi pare che vada bene. Solo nel primo quesito vedo una piccola svista. Il fascio dovrebbe essere :
\(\displaystyle \lambda X_o(X_o+X_1) +\mu X_2^2=0\)
\(\displaystyle \lambda X_o(X_o+X_1) +\mu X_2^2=0\)
@ciromario: giusto, correggo subito. Grazie!
"ciromario":
Leggendo la risposta di mistake mi verrebbe da dire "che se mio nonno non moriva a quest'ora avrebbe avuto 200 anni " !!
Hai ragione, ma ho letto di fretta e non ho fatto i calcoli. E poi la coordinata omogenea c'è chi la scrive come prima coordinata, chi come ultima e non mi andava di indagare troppo.
Ho un'altra domanda: mi viene chiesto se esistono piani affini in cui tutte le coniche non degeneri del fascio sono classificate come parabole (risp. ellissi/iperboli)... Come mi devo comportare? Intuitivamente direi che devo considerare i piani complementari alle rette che passano per i vari punti del ciclo base... Come mi muovo?
Ringrazio.
Ringrazio.
Nessuno?
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