[EX] Esercizio su sottoinsiemi connessi compatti

[otta96]

Sia $X$ uno spazio topologico connesso, localmente connesso, localmente compatto e $T_2$. Dimostrare che per ogni due punti che si possono prendere in $X$, esiste un sottoinsieme $K$ di $X$ connesso e compatto che li contiene.

[jinsang]

Provo:

Fissato qualsiasi $x \in X$ chiamo $C={y \in X | EE K \ \ text{compatto e connesso tale che} \ \ x,y \in K}$, dimostro che $C$ è non vuoto, aperto e chiuso; e dunque $C=X$ per connessione.
Non vuoto: $x \in C$.
Aperto: preso $y in C$ ho $K$ compatto connesso tale che $x,y \in K$, allora considero $H$ intorno compatto e connesso di $y$ (posso per le varie ipotesi) e ottengo che per ogni punto $z in H$ ho $x,z in K uu H$ che è compatto e connesso e quindi $H \subset C$.
Chiuso: preso $y in \bar{C}$ considero $H$ intorno compatto e connesso di $y$ e ho $z in H nn C \ne O/$, allora prendo $K$ il compatto connesso per cui $x,z in K$ e ottengo $x,y in H uu K$ compatto e connesso. Dunque $y in C$ e quindi $C$ è chiuso.

PS (Per Sicurezza) :
Mi ricorderesti le definizioni di localmente compatto e localmente connesso?
Io ho usato queste (memore del mio corso di topologia):
Localmente compatto: ogni punto ha un intorno compatto.
Localmente connesso: ogni punto ha un sistema fondamentale di intorni connessi.
[EDIT] Fatte piccole precisazioni [/EDIT]

Bellini questi esercizi, te li inventi?

[jinsang]

@arnett

Ho letto adesso.
Bello! Non avevo mai pensato alla connessione in questi termini! Devo ancora leggermi questa caratterizzazione, però fico.
Comunque secondo me la locale connessione la puoi usare per prendere gli $U_x$ connessi, se no non ho capito cosa garantisce che $U_1 uu ... uu U_n$ è connesso.

[otta96]

@arnett chi ti dice se gli $U_x$ sono connessi? Comunque grazie della segnalazione in OT, purtroppo è passato troppo tempo e non posso più modificare.

"jinsang":allora considero $H$ intorno compatto e connesso di $y$ (posso per le varie ipotesi)

È più o meno la parte che mi interessava di più dell'esercizio, non te la cavi così

e ho $z in H nn C \neq O/$,

Qui non ho capito cosa sia $z$, comunque ho capito il senso e va bene.

PS (Per Sicurezza) :
Mi ricorderesti le definizioni di localmente compatto e localmente connesso?
Io ho usato queste (memore del mio corso di topologia):
Localmente compatto: ogni punto ha un intorno compatto.
Localmente connesso: ogni punto ha un sistema fondamentale di intorni connessi.[/spoiler]

Sono le definizioni a cui faccio riferimento anche io.

Bellini questi esercizi, te li inventi?

Un po' li invento un po' li trovo a giro. Questo l'ho trovato a giro

[jinsang]

"otta96":
[quote="jinsang"]allora considero $H$ intorno compatto e connesso di $y$ (posso per le varie ipotesi)

È più o meno la parte che mi interessava di più dell'esercizio, non te la cavi così
[/quote]

Noo dai non è tranquillo?
Comunque provo in spoiler:

Se $X$ è localmente compatto, Hausdorff e localmente connesso allora ogni punto ha un intorno compatto e connesso.
dim
Preso qualsiasi $x in X$ considero $U$ intorno compatto di $x$ (posso per locale compattezza).
Prendo $V \subset U$ intorno connesso di $x$ (posso perché ne ho un sist. fond.).
Allora $bar{V} \subset U$ è connesso (chiusura di un connesso) e compatto (chiuso in compatto).

Osservazione
Dove ho usato $X$ Hausdorff?
Sembra un'ipotesi inutile, ma in realtà mi serve per dire che $bar{V} \subset U$ grazie al fatto che compatto implica chiuso in spazi di Hausdorff, e quindi $U$ è un chiuso che contiene $V$ e di conseguenza contiene $bar{V}$.
In spazi di Hausdorff localmente compatti vale addirittura che ogni punto ha un sistema fondamentale di intorni compatti!
In effetti dalla mia dimostrazione sembrava che l'ipotesi T2 fosse superflua

[otta96]

Bravo.

[otta96]

Si in quel modo funziona.