[EX] Esercizio su funzioni continue

[otta96]

Ecco un esercizietto carino sulle funzioni continue, un po' non standard ma non difficile.
Sia $f:X->X$ dove $X=[-3,3]$ data da $f(x)=(x^3-3x)/6$.
Dimostrare che $f$ non ammette una inversa destra continua.
Ricordo che una inversa destra in questo caso è una funzione $g:X->X$ tale che $f\circ g=\text{id}_X$.

[solaàl]

Se esiste, se ne può trovare una espressione risolvendo \(f(g(t))=t\); questa espressione non è definita su \([-3,0[\), quindi al massimo è \(f|_{[0,3]}\) che potrebbe avere un'inversa. (Non ho controllato se così ristretta resta un'endofunzione.)

[gugo82]

L’inversa destra esiste perché $f$ mi pare sia suriettiva. Il problema è capire perché tale funzione non può essere continua, mi sa.

[otta96]

"solaàl":Se esiste, se ne può trovare una espressione risolvendo \(f(g(t))=t\); questa espressione non è definita su \([-3,0[\), quindi al massimo è \(f|_{[0,3]}\) che potrebbe avere un'inversa. (Non ho controllato se così ristretta resta un'endofunzione.)

Non ho capito.

"gugo82":L’inversa destra esiste perché $ f $ mi pare sia suriettiva. Il problema è capire perché tale funzione non può essere continua, mi sa.

Esatto.