[ex] dimostrare una proprietà di numeri

[jitter1]

Vi sottopongo un esercizio su cui mi sono s-cervellata un po' ma che non sono riuscita a risolvere.

Siano $p$ e $q$ numeri reali positivi tali che $p^(-1)+q^(-1) = 1$. Si provi che, dati due numeri reali positivi $x$ e $y$, risulta $xy <= p^(-1)x^p + q^(-1)y^q$.

Suggerimento:

Il problema si trova nel capitolo su norme e prodotti interni, dopo le definizioni e la disuguaglianza di cauchy. Quindi credo si debba usare quella oppure la disuguaglianza triangolare.

Attendo curiosa

[E-3131]

Sono arrivato a dimostrarla in questo modo, ma chissà se andava fatta così?!

MA>MG. $ (x_1 +x_2+....+x_n)/(n)>=(x_1 *x_2*...*x_n)^(1/n) $
Suppongo che i primi $ m $ numeri $ x_i $ siano uguali al medesimo valore non negativo $ x $ e i restanti $ n-m $ siano uguali al medesimo valore non negativo $ y $. Quindi riscrivo la disuguaglianza come
$ (mx+(n-m)y)/(n)>=(x^m *y^(n-m))^(1/n) $ ovvero $ (mx)/n +(1-m/n)y>=x^(m/n) *y^(1-m/n) $
$ n $ è un generico numero intero positivo ed $ m $ un intero dell'intervallo $ 1<=m<=n-1 $ segue che $ m/n $ può rappresentare un qualsiasi numero razione $ r=m/n $ dell'intervallo aperto $ [0,1] $.
La disuguaglianza diventa: $ rx+(1-r)y>=x^r * y^(1-r) $.
Dalla condizione $ 1/p +1/q = 1 $ pongo $ r=1/p $ e $ 1/q = 1-r $
La disuguaglianza diventa: $ x/p +y/q >= x^(1/p) * y^(1/q) $. Per ottere quella richiesta pongo $ x=a^p, y=b^q $ e ottengo $ (a^p)/p +(b^q)/q >=ab $

[jitter1]

Ciao M313, mi scuso per non aver ancora risposto: la dimostrazione non mi è immediata e quindi ho bisogno di vederla con calma non appena ho un po' di tregua dal lavoro.
Intanto ti ringrazio!!!

[dissonance]

Si si quella si chiama "disuguaglianza di Young" è una cosa molto usata in analisi.

@E-313 la tua dimostrazione va sostanzialmente bene, ma non la capisco a fondo. Il punto chiave è la disuguaglianza
\[
rx+(1-r)y\ge x^ry^{1-r}, \]
che tu dimostri a partire da AM-GM in una maniera che non ho capito. (In effetti questa disuguaglianza è una versione generale di AM-GM che ingloba anche la disuguaglianza di Young). Io dimostrerei questa disuguaglianza usando la convessità della funzione esponenziale:
\[
r\exp\alpha + (1-r)\exp\beta \ge \exp(r\alpha+(1-r)\beta),\]
ponendo \(\alpha=\log x,\beta=\log y\).

P.S.: Rileggendo ho capito cosa hai fatto. Va bene, l'unico problema è che $r$ potrebbe essere un numero irrazionale. La tua dimostrazione funziona solo per $r$ razionale. Devi aggiungere un piccolo argomento di passaggio al limite per coprire anche questo caso.

In ultima analisi stai dimostrando direttamente che la funzione esponenziale è convessa, partendo da AM-GM.