[EX] Dimostrare che \( \{ \sin t , \ldots , \sin nt \} \) sono linearmente indip. su \( \mathbb{R} \)
Come da titolo, mi sono andato a cercare un esercizietto carino sull'indipendenza lineare di piu' di due funzioni:
Chi vuole, fra i niubbi come me ...!
Sia \( V \) lo spazio vettoriale delle funzioni reali continue definite su \( [-\pi, \pi] \). Si definisca il prodotto scalare di \( f, g \in V \) nel modo seguente
\[ \langle f, g \rangle := \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \, g(t) \operatorname{d}t \]
Dimostrare che le funzioni
\[ \sin t, \sin 2t, \sin 3t, \ldots, \sin nt \]
sono linearmente indipendenti su \( \mathbb{R} \) per qualunque scelta di \( n \ge 1 \).
Chi vuole, fra i niubbi come me ...!
Risposte
Spero di non aver commesso errori.
Procederei per induzione su $n$.
Per $n=1$, $sen(t)$ è ovviamente indipendente.
Per $n>1$ supponiamo che siano linearmente indipendenti ${sen(t),sen(2t),...,sen((n-1)t)}$ e proviamo che $sen(nt)$ non può essere espresso come loro combinazione lineare.
Giova ricordare che se un vettore si può esprimere come combinazione lineare di vettori indipendenti, allora tale combinazione è unica, ossia i coefficienti sono univocamente determinati.
Inoltre l'operatore di derivazione è lineare, e abbiamo a che fare con funzioni infinite volte derivabili, dunque se una tale funzione è combinazione lineare di altre funzioni infinite volte derivabili, la sua derivata sarà anch'essa combinazione lineare delle rispettive derivate, secondo gli stessi coefficienti.
Supponiamo per assurdo che $sen(nt)$ dipenda linearmente dai ${sen(t),sen(2t),...,sen((n-1)t)}$. Esistono allora (e sono univocamente determinati) $n-1$ scalari $lambda^(1),...,lambda^(n-1)$ tali che:
$sen(nt) = \sum_{k=1}^(n-1) lambda^k sen(kt)$
Prendendo le derivate quarte d'ambo i membri abbiamo:
$n^4 sen(nt) = \sum_{k=1}^(n-1) lambda^k k^4 sen(kt)$ ossia $sen(nt) = \sum_{k=1}^(n-1) (lambda^k (k/n)^4) sen(kt)$
E ciò contraddice il fatto che gli scalari fossero univocamente determinati.
Dunque $sen(nt)$ non può essere espresso come combinazione lineare dei ${sen(t),sen(2t),...,sen((n-1)t)}$ e di conseguenza: ${sen(t),sen(2t),...,sen((n-11)t),sen(nt)}$ sono indipendenti.
Procederei per induzione su $n$.
Per $n=1$, $sen(t)$ è ovviamente indipendente.
Per $n>1$ supponiamo che siano linearmente indipendenti ${sen(t),sen(2t),...,sen((n-1)t)}$ e proviamo che $sen(nt)$ non può essere espresso come loro combinazione lineare.
Giova ricordare che se un vettore si può esprimere come combinazione lineare di vettori indipendenti, allora tale combinazione è unica, ossia i coefficienti sono univocamente determinati.
Inoltre l'operatore di derivazione è lineare, e abbiamo a che fare con funzioni infinite volte derivabili, dunque se una tale funzione è combinazione lineare di altre funzioni infinite volte derivabili, la sua derivata sarà anch'essa combinazione lineare delle rispettive derivate, secondo gli stessi coefficienti.
Supponiamo per assurdo che $sen(nt)$ dipenda linearmente dai ${sen(t),sen(2t),...,sen((n-1)t)}$. Esistono allora (e sono univocamente determinati) $n-1$ scalari $lambda^(1),...,lambda^(n-1)$ tali che:
$sen(nt) = \sum_{k=1}^(n-1) lambda^k sen(kt)$
Prendendo le derivate quarte d'ambo i membri abbiamo:
$n^4 sen(nt) = \sum_{k=1}^(n-1) lambda^k k^4 sen(kt)$ ossia $sen(nt) = \sum_{k=1}^(n-1) (lambda^k (k/n)^4) sen(kt)$
E ciò contraddice il fatto che gli scalari fossero univocamente determinati.
Dunque $sen(nt)$ non può essere espresso come combinazione lineare dei ${sen(t),sen(2t),...,sen((n-1)t)}$ e di conseguenza: ${sen(t),sen(2t),...,sen((n-11)t),sen(nt)}$ sono indipendenti.
@Fabricus:
@giuscri
Bastano le formule di Werner!
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