[EX] Dimensione sottospazi, intersezione, somma
Per quanto riguarda il punto a) per calcolare la dimensione di U io avrei scritto le equazioni parametriche:
$((x),(y),(z)) = ((2),(1),(0))*t + ((-1),(0),(1))*t'$ posso scegliere $t = t' = 1$ così ho due vettori colonna $((2),(1),(0))$ e $((-1),(0),(1))$ e facendo gauss trovo che sono indipendenti e quindi il sottospazio ha dimensione 2? C'è un motivo per cui posso farlo?
Grazie
Risposte
Ciao 
Sinceramente non ho capito cosa hai fatto 
io risolverei cosi:
\[U=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: x-2y+z=0\}=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: x=2y-z\}\]
Quindi un generico vettore di $U$ è fatto così (lo scrivo in riga):
\[u=(2y-z,\, y\, ,z)=(2y,y,0)+(-z,0,z)=y(2,1,0)+z(-1,0,1)\]
Da qui concludiamo che
\[U=\mathcal{L}\{(2,1,0), \, (-1,0,1)\}\]
(con $\mathcal{L}$ ho indicato lo span). Si vede subito che i due vettori sono linearmente indipendenti, per cui $\text{dim} U=2$.
PS: la dimensione è quella a prescindere dai calcoli, dal momento che $U$ è definito dall'equazione di un piano in $RR^3$.
EDIT: ora ho capito:
ma che bisogno c'è di fare questo? (non capisco nemmeno la necessità di chiamarli $t$ e $t'$...)
Sinceramente non ho capito cosa hai fatto io risolverei cosi:\[U=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: x-2y+z=0\}=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: x=2y-z\}\]
Quindi un generico vettore di $U$ è fatto così (lo scrivo in riga):
\[u=(2y-z,\, y\, ,z)=(2y,y,0)+(-z,0,z)=y(2,1,0)+z(-1,0,1)\]
Da qui concludiamo che
\[U=\mathcal{L}\{(2,1,0), \, (-1,0,1)\}\]
(con $\mathcal{L}$ ho indicato lo span). Si vede subito che i due vettori sono linearmente indipendenti, per cui $\text{dim} U=2$.
PS: la dimensione è quella a prescindere dai calcoli, dal momento che $U$ è definito dall'equazione di un piano in $RR^3$.
EDIT: ora ho capito:
posso scegliere $t=t′=1$
ma che bisogno c'è di fare questo?
(non capisco nemmeno la necessità di chiamarli $t$ e $t'$...)
Grazie mille, sì il tuo metodo l'ho capito, per quanto riguarda il mio, ho visto alcuni esercizi svolti che ragionavano più o meno così, e ho provato a risolverlo in quel modo! Non mi ci trovo male 
Figurati! 
Comunque, fino a quando li chami $t$ e $t'$ non ci trovo nulla di male...però mi pare concettualmente errato dire "posso scegliere $t=t'=1$"...tu dovresti mettere in evidenza semplicemente il fatto che $U$ è l'insieme delle combinazioni lineari di quei due vettori, e lo fai quando scrivi
A questo punto devi controllare se c'è dipendenza tra i due vettori (e non c'è), e l'esercizio finisce qui
Comunque, fino a quando li chami $t$ e $t'$ non ci trovo nulla di male...però mi pare concettualmente errato dire "posso scegliere $t=t'=1$"...tu dovresti mettere in evidenza semplicemente il fatto che $U$ è l'insieme delle combinazioni lineari di quei due vettori, e lo fai quando scrivi
"smaug":
$((x),(y),(z)) = ((2),(1),(0))*t + ((-1),(0),(1))*t'$
A questo punto devi controllare se c'è dipendenza tra i due vettori (e non c'è), e l'esercizio finisce qui
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