[EX] Base dell'annullatore e spazio duale
Ciao! Il prof. in una prova ci ha assegnato il seguente esercizio:
Sia $W\<=\RR^4$ il sottospazio generato da $w_1\=\((1),(2),(1),(0))$ e $w_2\=\((0),(1),(1),(3))$. Si trovi:
-La dimensione dell'annullatore
-Una base dell'annullatore
Sia $j:RR^4\->\(RR^4)^v$, dove $(RR^4)^v$ è il duale di $RR^4$, tale che $j(e_i)=e^i$, per $i=1, 2, 3, 4$ e dove $beta={e_1, e_2, e_3, e_4}$ è la base canonica e $beta^1={e^1, e^2, e^3, e^4}$ è la base duale. Determinare l'intersezione $j(W)\nn\AN(W)$, dove $AN(W)$ è l'annullatore di $W$.
Le mie perplessità sono molteplici..
Per la dimensione dell'annullatore non ho problemi, dato che so essere $dim V\-\dim W\=\4-2\=\2$
Per la base dell'annullatore inizio ad avere problemi... Se ho capito bene, l'annullatore è l'insieme delle funzione lineari appartenenti al duale dello spazio vettoriale considerato (in questo caso $RR^4$) tali che $f(w)=0\ \AA\w\in\W$.
A me verrebbe da scrivere un qualsiasi vettore $w\in\W$ come combinazione lineare di $w_1, w_2$, dunque:
$w\=\aw_1\+\bw_2\=\a((1),(2),(1),(0))+\b((0),(1),(1),(3))\=\((a),(2a+b),(a+b),(3b))$ e da qui impostare un sitema del tipo:
$f(w)\=\0\iff\f((a),(2a+b),(a+b),(3b))\=\((0),(0),(0),(0))$
Ma da qui come potrei proseguire? Avrebbe senso scrivere $iff\{ (f(ax)=0) , (f((2a+b))y=0), (f((a+b)w)=0), (f(3bz)=0) :}$? E quindi?
Per la seconda parte, invece, non saprei nemmeno da dove cominciare...
Sia $W\<=\RR^4$ il sottospazio generato da $w_1\=\((1),(2),(1),(0))$ e $w_2\=\((0),(1),(1),(3))$. Si trovi:
-La dimensione dell'annullatore
-Una base dell'annullatore
Sia $j:RR^4\->\(RR^4)^v$, dove $(RR^4)^v$ è il duale di $RR^4$, tale che $j(e_i)=e^i$, per $i=1, 2, 3, 4$ e dove $beta={e_1, e_2, e_3, e_4}$ è la base canonica e $beta^1={e^1, e^2, e^3, e^4}$ è la base duale. Determinare l'intersezione $j(W)\nn\AN(W)$, dove $AN(W)$ è l'annullatore di $W$.
Le mie perplessità sono molteplici..
Per la dimensione dell'annullatore non ho problemi, dato che so essere $dim V\-\dim W\=\4-2\=\2$
Per la base dell'annullatore inizio ad avere problemi... Se ho capito bene, l'annullatore è l'insieme delle funzione lineari appartenenti al duale dello spazio vettoriale considerato (in questo caso $RR^4$) tali che $f(w)=0\ \AA\w\in\W$.
A me verrebbe da scrivere un qualsiasi vettore $w\in\W$ come combinazione lineare di $w_1, w_2$, dunque:
$w\=\aw_1\+\bw_2\=\a((1),(2),(1),(0))+\b((0),(1),(1),(3))\=\((a),(2a+b),(a+b),(3b))$ e da qui impostare un sitema del tipo:
$f(w)\=\0\iff\f((a),(2a+b),(a+b),(3b))\=\((0),(0),(0),(0))$
Ma da qui come potrei proseguire? Avrebbe senso scrivere $iff\{ (f(ax)=0) , (f((2a+b))y=0), (f((a+b)w)=0), (f(3bz)=0) :}$? E quindi?
Per la seconda parte, invece, non saprei nemmeno da dove cominciare...
Risposte
Altolà, prima cosa, per esercizio trova l'ortogonale (annullatore se preferisci) dei due vettori della tua base:
$(a$ $b$ $c$ $d)$ $((1),(2),(1),(0))=a+2b+c=0 Rightarrow a=-2b vv a=-c vv a=b=c=0 Rightarrow$
$ Rightarrow <(1$ $0$ $-1$ $0),(2$ $-1$ $0$ $0), (0$ $0$ $0$ $1)>$
Fallo tu per il secondo vettore. L'intersezione dei due sottospazi ti da proprio l'annullatore che cercavi.
Possiamo anche lavorare su entrambi in questo modo, ma è molto scomodo:
$(a$ $b$ $c$ $d)$ $((t),(2t+s),(t+s),(3s))=(a+2b+c)t +(b+c+3d)s=0 Rightarrow $
$ Rightarrow <(1$ $-1$ $1$ $0),(0$ $3$ $-6$ $1)>$
Ecco trovata una base dell'annullatore.
$(a$ $b$ $c$ $d)$ $((1),(2),(1),(0))=a+2b+c=0 Rightarrow a=-2b vv a=-c vv a=b=c=0 Rightarrow$
$ Rightarrow <(1$ $0$ $-1$ $0),(2$ $-1$ $0$ $0), (0$ $0$ $0$ $1)>$
Fallo tu per il secondo vettore. L'intersezione dei due sottospazi ti da proprio l'annullatore che cercavi.
Possiamo anche lavorare su entrambi in questo modo, ma è molto scomodo:
$(a$ $b$ $c$ $d)$ $((t),(2t+s),(t+s),(3s))=(a+2b+c)t +(b+c+3d)s=0 Rightarrow $
$ Rightarrow <(1$ $-1$ $1$ $0),(0$ $3$ $-6$ $1)>$
Ecco trovata una base dell'annullatore.
Dunque.. per il secondo avrei:
$(a\ \b\ \c\ \d)((0),(1),(1),(3))\=\b+c+3d=0\ \rArr\ \b=-c\ \vv\ \b=-3d\ \vv\ \c=-3d$
$rArr\ \<(0\ \1\ \-1\ \0), (0\ \3\ \0\ \-1), (0\ \0\ \3\ \-1)>$
Però mi rendo conto di non esser messo bene...
per trovare la base dell'annullatore mi è chiaro che devo fare l'intersezione dei due sottospazi trovati, ma mi rimangon due dubbi:
-Perché $(a\ \b\ \c\ \d)((0),(1),(1),(3))$ mi da l'annullatore del vettore $w_2$? Cioè, l'annullatore del vettore sono le funzioni lineari da $RR^4\->\RR$ tali che $f(w_2)=0$, ma la matrice $(a\ \b\ \c\ \d)$, quindi, è la matrice associata ad una qualsiasi di queste funzioni lineari, e ponendo $(a\ \b\ \c\ \d)((0),(1),(1),(3))\=\0$ mi trovo quelle che mi vanno bene?
-Per trovare l'intersezione dei due sottospazi che abbiamo ricavato devo vedere uno ad uno quali vettori sono linearmente indipendenti (al più ricordandomi che ce ne sono massimo 2 perché la dimensione è 2) o c'è un metodo più immediato?
Grazie, comunque!
$(a\ \b\ \c\ \d)((0),(1),(1),(3))\=\b+c+3d=0\ \rArr\ \b=-c\ \vv\ \b=-3d\ \vv\ \c=-3d$
$rArr\ \<(0\ \1\ \-1\ \0), (0\ \3\ \0\ \-1), (0\ \0\ \3\ \-1)>$
Però mi rendo conto di non esser messo bene...
per trovare la base dell'annullatore mi è chiaro che devo fare l'intersezione dei due sottospazi trovati, ma mi rimangon due dubbi:-Perché $(a\ \b\ \c\ \d)((0),(1),(1),(3))$ mi da l'annullatore del vettore $w_2$? Cioè, l'annullatore del vettore sono le funzioni lineari da $RR^4\->\RR$ tali che $f(w_2)=0$, ma la matrice $(a\ \b\ \c\ \d)$, quindi, è la matrice associata ad una qualsiasi di queste funzioni lineari, e ponendo $(a\ \b\ \c\ \d)((0),(1),(1),(3))\=\0$ mi trovo quelle che mi vanno bene?
-Per trovare l'intersezione dei due sottospazi che abbiamo ricavato devo vedere uno ad uno quali vettori sono linearmente indipendenti (al più ricordandomi che ce ne sono massimo 2 perché la dimensione è 2) o c'è un metodo più immediato?
Grazie, comunque!
Attento che hai scritto tre vettori dipendenti, ti manca la condizione in cui i tre coefficienti (b,c,d) siano tutti 0!
Esatto tu ti cerchi le righe che si annullino per un dato vettore e quindi sai che la funzione avente quella riga per definizione appartiene all'annullatore.
Non c'è un metodo abbreviato standard, io in questo caso ti consiglierei di valutare quanto valgono i vettori riga, annullatori di un vettore colonna, contro l'altro vettore colonna, ti verranno dei numeri puri. Se ora combini questi numeri puri per ottenere 0, la combinazione lineare sarà proprio quella dei vettori cercati.
Esempio:
Prendiamo i vettori riga che annullano $w_1$ e moltiplichiamoli per $w_2$, varranno:
-1 , -1, 3
Quindi se prendiamo il primo annullatore di $w_1$ e ci togliamo il secondo otterremo 0:
$((-1),(1),(-1),(0))$
O se prendiamo tre volte il primo annullatore più il terzo:
$((3),(0),(-3),(1))$
Noti subito che entrambi appartengono all'annullatore comune che avevo trovato in precedenza.
Esatto tu ti cerchi le righe che si annullino per un dato vettore e quindi sai che la funzione avente quella riga per definizione appartiene all'annullatore.
Non c'è un metodo abbreviato standard, io in questo caso ti consiglierei di valutare quanto valgono i vettori riga, annullatori di un vettore colonna, contro l'altro vettore colonna, ti verranno dei numeri puri. Se ora combini questi numeri puri per ottenere 0, la combinazione lineare sarà proprio quella dei vettori cercati.
Esempio:
Prendiamo i vettori riga che annullano $w_1$ e moltiplichiamoli per $w_2$, varranno:
-1 , -1, 3
Quindi se prendiamo il primo annullatore di $w_1$ e ci togliamo il secondo otterremo 0:
$((-1),(1),(-1),(0))$
O se prendiamo tre volte il primo annullatore più il terzo:
$((3),(0),(-3),(1))$
Noti subito che entrambi appartengono all'annullatore comune che avevo trovato in precedenza.
Ok fin qui penso di esserci, in alternativa, anche se probabilmente si discosta solo per la forma, potevo procedere anche così?
Dev'essere soddisfatta: $((1\ \2\ \1\ \0),(0\ \1\ \1\ 3))\ \((x),(y),(w),(z))\=\((0),(0))$ quindi:
${ (x+2y+w=0), (y+z+3w=0) :}\ \iff\ \{ (w=-x-2y), (z=(x+y)/3) :}$
Lo spazio delle soluzioni del sistema è: ${ ((a), (b), (-a-2b), ((a+b)/3))\ \:\ \a,b\in\RR }\ \iff\ \{ ((3a), (3b), (-3a-6b), (a+b))\ \:\ \a,b\in\RR }$ e i generatori di questo spazio sono $<(3$ $0$ $-3$ $1),(0$ $3$ $-6$ $1)>$ appunto quelli da te trovati, può andare?
Quando vuoi, sono pronto per la seconda parte (si spera)
Dev'essere soddisfatta: $((1\ \2\ \1\ \0),(0\ \1\ \1\ 3))\ \((x),(y),(w),(z))\=\((0),(0))$ quindi:
${ (x+2y+w=0), (y+z+3w=0) :}\ \iff\ \{ (w=-x-2y), (z=(x+y)/3) :}$
Lo spazio delle soluzioni del sistema è: ${ ((a), (b), (-a-2b), ((a+b)/3))\ \:\ \a,b\in\RR }\ \iff\ \{ ((3a), (3b), (-3a-6b), (a+b))\ \:\ \a,b\in\RR }$ e i generatori di questo spazio sono $<(3$ $0$ $-3$ $1),(0$ $3$ $-6$ $1)>$ appunto quelli da te trovati, può andare?
Quando vuoi, sono pronto per la seconda parte (si spera)
Dovresti scriverla così però:
$(x$ $y$ $z$ $w)$ $((1,0),(2,1),(1,1),(0,3))$
Qual è la seconda parte?
$(x$ $y$ $z$ $w)$ $((1,0),(2,1),(1,1),(0,3))$
Qual è la seconda parte?
"Giso":
Sia $j:RR^4\->\(RR^4)^v$, dove $(RR^4)^v$ è il duale di $RR^4$, tale che $j(e_i)=e^i$, per $i=1, 2, 3, 4$ e dove $beta={e_1, e_2, e_3, e_4}$ è la base canonica e $beta^1={e^1, e^2, e^3, e^4}$ è la base duale. Determinare l'intersezione $j(W)\nn\AN(W)$, dove $AN(W)$ è l'annullatore di $W$.
Ok! Comunque questa è la seconda parte..
Tu stai cercando gli annullattori di $W$ che, concedimi il volo logico, appartengono a $W^T$, in quanto j non è altro che la trasposizione dei vettori. Ora basta che confronti questi due insiemi. Prova a farlo, così vediamo se i risultati sono giusti!
Scusa, cosa intendi con $W^T$?
Non credo ci azzeccherò, però può essere che $(RR^4)^v\=\j(W)\+\AN(W)$ e, per ragioni di dimensione, $j(W)\nn\AN(W)\=\{0}$ e dunque l'intersezione è il solo vettore nullo?
Non credo ci azzeccherò, però può essere che $(RR^4)^v\=\j(W)\+\AN(W)$ e, per ragioni di dimensione, $j(W)\nn\AN(W)\=\{0}$ e dunque l'intersezione è il solo vettore nullo?
$W^T$ vuol dire che prendi il vettore verticale e lo sdrai in orizzontale, come fa la funzione $j$. Qui le dimensioni non contano 
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