[EX] A proposito di spazi vettoriali

[giuscri]

Dire se
\[ \left\{ \binom{a+2b \; -\!3}{2a-b \; -\!1}\right\} \subset \mathbb{R}^2 \]
sia/non sia uno spazio vettoriale.

Come mi piacerebbe chiuderlo:

\[ \underline{v}+\underline{w}=\binom{(a+c)+2(b+d)-6}{2(a+c)-(b+d)-2}
\qquad \underline{v}=\binom{a+2b-3}{2a-2b-1},\,\underline{w}=\binom{c+2d-3}{2c-2d-1}\]
Se riuscissi a scrivere
\[ (a+c) + 2(b+d) - 6 = \xi + 2 \eta -3\]
e
\[ 2(a+c) - (b+d) - 2 = 2 \xi - \eta -1\]
per un qualche set \(\{\eta, \xi\}\) -sa il cielo chi siano- avrei verificato la chiusura rispetto alla somma.
Cioe', se per ogni \(a,b,c,d\) reali fissati -in sostanza, per ogni coppia di vettori \(\underline{v},\, \underline{w}\)- esistono due numeri \(\xi\) ed \(\eta\) per cui riesco a scrivere la somma di \(\underline{v}\) e di \(\underline{w}\) come un oggetto del sottoinsieme di partenza.

In altre parole, mi si chiede se sia risolubile -ripeto, per ogni \(a,b,c,d\) fissati- il seguente sistema lineare:
\[
\begin{cases}
(a+c) + 2(b+d) - 6 = \xi + 2 \eta -3 \\
2(a+c) - (b+d) - 2 = 2 \xi - \eta -1
\end{cases}
\]
Dueequazioniindueincognite: risolubile. Cioe', esistono \(\xi\), \(\eta\) che mi permettono di scrivere la somma come un oggetto dell'insieme di partenza.

Con considerazioni identiche -risolubilita' del sistema lineare- si deduce la chiusura rispetto al prodotto per un \(\lambda\) scalare: quel sottoinsieme di \(\mathbb{R}^2\) e' uno spazio vettoriale.

Quindi, analogamente dovrei riuscire al volo a dire che (altro esercizietto)
\begin{equation*}
\left\{
\begin{pmatrix}
a-b-1 \\
2a+b-1 \\
a+b+1
\end{pmatrix}
\right\}
\subset \mathbb{R}^3
\end{equation*}
e' uno spazio vettoriale.
Ogni volta che sommo \(r\) vettori infatti avro'
\begin{cases}
\sum_{i=1}^r a_i - \sum_{i=1}^r b_i -\!r = \xi - \eta -\!1 \\
2\sum_{i=1}^r a_i + \sum_{i=1}^r b_i -\!r = 2\xi + \eta -\!1 \\
\sum_{i=1}^r a_i + \sum_{i=1}^r b_i +\!r = \xi + \eta +\!1
\end{cases}
che e' risolubile. La moltiplicazione per lo scalare, analogamente, non mi da fastidio.

Cioe' i due insiemi proposti sono entrambi spazi vettoriali.

Potevo farla finita in un paio di righe, invece?

[gugo82]

Nota che il generico vettore del tuo insieme \(X\) si scrive come:
\[
a\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix}\; ,
\]
quindi il tuo insieme si ottiene aggiungendo il vettore "fisso" \(\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix}\) ad ogni vettore del tipo \(a\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) , il quale appartiene al sottospazio $S$ generato dai vettori \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\).

Siccome i due vettori \( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) sono indipendenti, poiché:
\[
\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -1-4=-5\neq 0\; ,
\]
essi generano tutto \(\mathbb{R}^2\); quindi hai:
\[
\begin{split}
X &= S + \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix}\\
&= \mathbb{R}^2 +\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix}\\
&= \mathbb{R}^2
\end{split}
\]
e perciò il tuo insieme è uno spazio vettoriale.

Se vuoi ragionare in altra maniera, puoi mostrare che il tuo insieme \(X\) coincide con \(\mathbb{R}^2\) come segue.
Fissato un vettore "a caso" \(\begin{pmatrix} t \\ s \end{pmatrix}\), affinché \(\begin{pmatrix} t \\ s \end{pmatrix}\) stia in \(X\) devono esistere due numeri \(a,b\) tali che:
\[
\begin{pmatrix} a+2b-3 \\ 2a-b-1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} t \\ s \end{pmatrix}
\]
ossia, scrivendo le relazioni scalari corrispondenti a quella vettoriale, esistano due numeri tali che:
\[
\begin{cases} a+2b=t+3\\
2a -b = s+1
\end{cases}\; ;
\]
ma l'ultimo sistema lineare ha soluzione per ogni coppia di termini noti \(t+3,s+1\) giacché è di Cramer, perciò \(\begin{pmatrix} t \\ s \end{pmatrix}\) sta in \(X\).

[giuscri]

@Gugo: Mi piacciono entrambi gli approcci; ma di come l'ho risolto io, invece?

[gugo82]

"giuscri":@Gugo: Mi piacciono entrambi gli approcci; ma di come l'ho risolto io, invece?

Verificare le due proprietà con due parametri è un po' troppo un casino... Per me è meglio fare le cose nella maniera più semplice possibile.

[giuscri]

"gugo82":Per me è meglio fare le cose nella maniera più semplice possibile.

Ok ... Pero' ho ancora il dubbio: siamo pervenuti allo stesso risultato per caso o quello che ho scritto e' comunque corretto.
Capisco che dovrei tentare altre strade, e va bene, pero' mi piacerebbe sapere se in quello che ho scritto ci sia qualcosa di sbagliato o se il problema sta solo nella scelta di una procedura un po' piu' cocciuta*.

Mi scuso per l'insistenza -so che non e' buona educazione stressare l'utente che risponde.

Ringrazio.

___
* Nessun calcolo, nessuna verifica. Solo che un sistema lineare due equazioni due incognite riesco sempre a risolverlo -in qualche modo.