Estrazione di Una base.

[akos070191]

Allora ragazzi, premettendo che dal punto di vista teorico ho capito veramente ben poco e quindi mi servirebbe anche capire quali e come possono essere i casi che mi si possono presentare e come affrontarli, mi trovo a dover svolgere questo esercizio e siccome non ho soluzione da nessuna parte non sono sicuro di procedere bene o meno. Mi dice: Sia W= L ( v1, v2 ,v3) il sottospazio di R^3 generato dai vettori : v1= (o,1,1) v2=(1,0,3) v3=(1,-3,0). Estrarre una base di W dall'insieme I=(v1,v2,v3). Determinare poi la dimensione di W.

So che si può procedere o con il procedimento degli scarti successivi dimostrando che la prima colonna non costituisce vettore nullo, la seconda non è linearmente dipendente dalla prima e la terza non è linearmente dipendente dalle due..o semplificando con il metodo dei gradini la matrice generata dai tre vettori. é giusto quello che sto dicendo? Potreste mostrarmi come si procede in questo caso? Io ho fatto così:
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & -3 \\
1 & -3 & 0
\end{array}
\right)
\]

Per semplificare per gradini questa matrice ho invertito la terza riga con la prima e poi utilizzato il metodo di riduzione pre gradini: mi è uscito fuori :
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & -3 & 0 \\
0 & 3 & 3 \\

\end{array}
\right)
\]
E poi come posso fare ( se il procedimento è corretto) a verificare di aver svolto bene l'esercizio?

[Papapicco]

Occhio che c'è un errore algebrico nella riduzione,comunque il procedimento è corretto, semplicemente ti basta dire che la base di w ($B_w$) è quell'insieme libero e ordinato di vettori di W che sono tutti tra di loro linearmente indipendenti e che generano tutto W;
questo equivale a dire che un generico vettore $\vec u \in W$ $=(u_1, u_2, u_3)$, si può scrivere come combinazione lineare dei vettori della $B_w$.
Quindi in questo caso i vettori linearmente indipendenti di $W=(v_1,v_2,v_3)$ sono tutti quelli non nulli al termine delle riduzioni della matrice associata ovvero $v_2=(1,0,3)$ e $v_3=(1,-3,0)$.
UNA base(perchè ce ne sono più di una per ogni spazio o sottospazio vettoriale tutte con la stessa dimensione) di W è quindi:

$B_w=(v_2,v_3)=$ $((1,0,3),$ $(1,-3,0))$, e $dimW=2$

[akos070191]

Grazie mille come sempre. Il problema ora è il seguente : mettiamo caso che allo scritto esca un esercizio simile fra i tanti..se volessi avere una riprova che ho fatto bene e che la base è proprio rappresentata dai vettori v2 e v3 esiste un metodo per verificare ciò??

[Papapicco]

Un utile riprova potrebbe essere prendere un qualsiasi vettore dello spazio e vedere se è possibile scriverlo come combinazione lineare dei vettori della base;se così non è allora o hai sbagliato qualcosa, oppure i vettori che hai scelto non sono l.i.