Esprimere vettore in modo unico
Salve ragazzi,
La prof spiegando le coordinate di un vettore rispetto alla base , ci ha dato una prposizione che dice :
v(vettore) si esprime in modo unico come combinazione lineare di una serie di vettori.
Io la interpreto così: c'è solo UNA serie di scalari che moltiplicati a tali vettori danno la combinazione lineare che ha come risultato il vettore v.
È giusto?
In questo caso mi sorge un altro dubbio.. non trovo un esempio in cui questa cosa non valga ! Non trovo uno stesso vettore che risulta da 2 combinazioni lineati diverse !
Vi ringrazio in anticipo!
La prof spiegando le coordinate di un vettore rispetto alla base , ci ha dato una prposizione che dice :
v(vettore) si esprime in modo unico come combinazione lineare di una serie di vettori.
Io la interpreto così: c'è solo UNA serie di scalari che moltiplicati a tali vettori danno la combinazione lineare che ha come risultato il vettore v.
È giusto?
In questo caso mi sorge un altro dubbio.. non trovo un esempio in cui questa cosa non valga ! Non trovo uno stesso vettore che risulta da 2 combinazioni lineati diverse !
Vi ringrazio in anticipo!
Risposte
"Cuppls":
c'è solo UNA successione di scalari che moltiplicati a tali vettori danno la combinazione lineare che ha come risultato il vettore v.
È giusto?
L'idea è quella.
"Cuppls":
In questo caso mi sorge un altro dubbio.. non trovo un esempio in cui questa cosa non valga !
Un esempio: in \(\mathbb{R}^2\) prendi i vettori \(a = (1,0), b = (0,1) ,c =(2,3)\), si ha \((2,3) = 2a + 3b + 0c = 0a + 0b + 1c = -2a -2b +2c = \cdots\). Se provi a esprimere il vettore solo in termini di \(a\) e \(b\) (che formano una base) invece, trovi una sola combinazione lineare.
Se tu hai due combinazioni lineari degli stessi vettori che risultano uguali allora hai che
\begin{align} a_1\mathbf{v}_1 + \dotsb + a_n\mathbf{v}_n &= b_1\mathbf{v}_1 + \dotsb + b_n\mathbf{v}_n\\
(a_1-b_1)\mathbf{v}_1 + \dotsb + (a_n-b_n)\mathbf{v}_n &= 0
\end{align}
che implica che \(\displaystyle a_i - b_i = 0 \) per ogni \(\displaystyle i \) oppure che \(\displaystyle \mathbf{v}_1, \dotsc, \mathbf{v}_n \) non sono linearmente indipendenti.
\begin{align} a_1\mathbf{v}_1 + \dotsb + a_n\mathbf{v}_n &= b_1\mathbf{v}_1 + \dotsb + b_n\mathbf{v}_n\\
(a_1-b_1)\mathbf{v}_1 + \dotsb + (a_n-b_n)\mathbf{v}_n &= 0
\end{align}
che implica che \(\displaystyle a_i - b_i = 0 \) per ogni \(\displaystyle i \) oppure che \(\displaystyle \mathbf{v}_1, \dotsc, \mathbf{v}_n \) non sono linearmente indipendenti.
Vi ringrazio ragazzi..ho chiarito le idee anche facendo qualche esercizio.
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