Espressione Forma Bilineare rispetto ad una base
Buongiorno ragazzi , ho difficoltà nel risolvere il punto tre del seguente esercizio:
Si consideri la funzione:
$ φ : R^{2,2} ×R^{2,2} → R , (A,B) → tr(A^tB)$ ,
dove $tr(A)$ denota la traccia della matrice $A$.
1. Verificare che $φ$ è un prodotto scalare su $R^{2,2}$
2. Dato il sottospazio vettoriale di $R^{2,2}$ :
$F ={A∈R^{2,2} |tr(A)=0}$ ,
trovare la dimensione e una base per $F^⊥$ , complemento ortogonale di $F$ rispetto
alla forma bilineare simmetrica $φ$ .
3. Si consideri una base di $R^{2,2}$ deltipo $B=B_1∪B_2$ ,dove $B_1$ è una base di $F$ e
$B_2$ è una base di $F^⊥$. Scrivere l’espressione di $φ$ rispetto alla base $B$.
I primi due li ho risolti facilmente, il punto tre è ostico per la scrittura dell'espressione di $ φ $ rispetto alla base $ B $.
So che $ B $ è generato dai vettori di $ F $ e $ F^⊥ $ cioè : $ B=L ( (1,0,0,-1) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (1,0,0,1))$ dove i primi tre appartengono ad $ F $ mentre l'ultimo a $ F^⊥ $. Per l'espressione di $ φ $ ho pensato di calcolare gli autovalori di B , potrebbe essere corretta come intuizione ?
grazie e buona giornata!
Si consideri la funzione:
$ φ : R^{2,2} ×R^{2,2} → R , (A,B) → tr(A^tB)$ ,
dove $tr(A)$ denota la traccia della matrice $A$.
1. Verificare che $φ$ è un prodotto scalare su $R^{2,2}$
2. Dato il sottospazio vettoriale di $R^{2,2}$ :
$F ={A∈R^{2,2} |tr(A)=0}$ ,
trovare la dimensione e una base per $F^⊥$ , complemento ortogonale di $F$ rispetto
alla forma bilineare simmetrica $φ$ .
3. Si consideri una base di $R^{2,2}$ deltipo $B=B_1∪B_2$ ,dove $B_1$ è una base di $F$ e
$B_2$ è una base di $F^⊥$. Scrivere l’espressione di $φ$ rispetto alla base $B$.
I primi due li ho risolti facilmente, il punto tre è ostico per la scrittura dell'espressione di $ φ $ rispetto alla base $ B $.
So che $ B $ è generato dai vettori di $ F $ e $ F^⊥ $ cioè : $ B=L ( (1,0,0,-1) (0,1,0,0) (0,0,1,0) (1,0,0,1))$ dove i primi tre appartengono ad $ F $ mentre l'ultimo a $ F^⊥ $. Per l'espressione di $ φ $ ho pensato di calcolare gli autovalori di B , potrebbe essere corretta come intuizione ?
grazie e buona giornata!
Risposte
Cosa sono gli autovalori di una base? Ho l'impressione che tu sia fuori strada. Secondo me, visto che hai una base esplicita, calcola l'espressione matriciale della tua forma bilineare in questa base, è un conto semplice e lo sai sicuramente fare.
dissonance che ne pensi di valutare la forma quadratica della forma bilineare, sostituire i vettori della base $B$ nella forma quadratica e dovrei ottenere la matrice richiesta ovvero $M(φ)=((2,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,2))$. Che ne dici?
grazie!
grazie!
Si, devi fare una cosa del genere, ma non capisco cosa significhi "valutare la forma quadratica della forma bilineare". Tu hai già una forma bilineare $\phi$, e solo quella devi usare. La forma quadratica associata sarebbe $Q_\phi(A)=\phi(A, A)$, ma a te non serve a nulla. E fai attenzione, mi sa che stai confondendo i termini "quadratica" e "bilineare".
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