Esponenziali di matrici

[miuemia]

Sia $A$ una matrice $nxn$ complessa.
dimostrare che:

$det(e^A)=e^(det(A))$.

dove $det$ è la funzione determinante.

un bell esercizio secondo me.

ciao

[dissonance]

Oppure, idea alternativa, possiamo mescolare le dimostrazioni mia e di Dorian in questa maniera: dimostriamo che gli autovalori di $e^A$ sono ${e^(lambda_1), ldots, e^(lambda_n)}$ usando la triangolarizzabilità.
Infatti ogni matrice complessa $A=UTU^(-1)$ dove $T$ è triangolare superiore. Calcoliamo $"exp"\ A=lim_{n}sum_{k=0}^n(UTU^(-1))^k/(k!)=lim_{n}U[sum_{k=0}^nT^k/(k!)]U^(-1)=U"exp"(T)U^(-1)$. Con un ragionamento analogo a quello fatto per le matrici diagonali, vediamo che $"exp"\ T$ è triangolare superiore. Per leggere gli autovalori basta determinarne la diagonale principale, che risulta essere $(e^(lambda_1), ldots, e^(lambda_n))$ perché
$"exp"\ T=lim_{n\toinfty}sum_{k=0}^nT^k/(k!)=lim_{n\toinfty}sum_{k=0}^n[[lambda_1, **,ldots, **],[0, lambda_2, ldots, **], [vdots, vdots, ddots, vdots],[0, 0, ldots, lambda_n]]^k/(k!)=lim_{n\toinfty}[[sum_{k=0}^n(lambda_1^k)/(k!), **,ldots, **],[0, sum_{k=0}^n(lambda_2^k)/(k!), ldots, **], [vdots, vdots, ddots, vdots],[0, 0, ldots,sum_{k=0}^n (lambda_n^k)/(k!)]]=$$[[e^(lambda_1), **,ldots, **],[0, e^(lambda_2), ldots, **], [vdots, vdots, ddots, vdots],[0, 0, ldots, e^(lambda_n)]]$.
Adesso possiamo concludere, visto che $"exp"\ A$ è simile a $"exp"\ T$, che i suoi autovalori sono esattamente ${e^(lambda_1), ldots, e^(lambda_n)}$.

[Dorian1]

Io credevo che, data $A=(a_(i,j))_(i,j in {1,2,...,n})$ si definisse:

$e^A=(e^(a_(i,j)))_(i,j in {1,2,...,n})$...

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

@dissonance: caspita, mi sa che hai ragione! Pensavo fosse più difficile di così.