Esponenziale di una matrice: Forma di Jordan vs. trasformata di Laplace?
Ciao a tutti!
Per fare l'esponenziale di una matrice $F$ conosco due metodi:
1) $e^{F}=T e^{F_j} T^{-1}$
dove $T$ è la matrice degli autovettori generalizzati e $F_j$ la matrice $F$ espressa in forma canonica di Jordan.
2) $e^{F}=L^{-1} \{ (sI-F)^{-1} \}$
cioè la matrice che ha per componenti le antitrasformate di Laplace dei componenti della matrice così costruita, dove $I$ è la matrice identica.
Guardando cosi a me quello di Jordan sembra un metodo molto più lungo e non capisco perché gli si dà così tanto peso?
Secondo voi quale funziona sempre e conviene usare? Se dipende dai casi quale in un caso e quale nell'altro?
Per fare l'esponenziale di una matrice $F$ conosco due metodi:
1) $e^{F}=T e^{F_j} T^{-1}$
dove $T$ è la matrice degli autovettori generalizzati e $F_j$ la matrice $F$ espressa in forma canonica di Jordan.
2) $e^{F}=L^{-1} \{ (sI-F)^{-1} \}$
cioè la matrice che ha per componenti le antitrasformate di Laplace dei componenti della matrice così costruita, dove $I$ è la matrice identica.
Guardando cosi a me quello di Jordan sembra un metodo molto più lungo e non capisco perché gli si dà così tanto peso?
Secondo voi quale funziona sempre e conviene usare? Se dipende dai casi quale in un caso e quale nell'altro?
Risposte
Non so molto di trasformate integrali, ma mi incuriosisce che esista questa caratterizzazione dell'esponenziale di un operatore. Puoi dare una referenza dove viene dimostrato, o scrivere una dimostrazione?
@killing Buddha.: che io sappia una referenza standard per matematici su queste cose è il libro sui semigruppi di Goldstein, che spiega bene la formula della trasformata di Laplace nell'introduzione. Ma mi interessa conoscere altre referenze.
In ogni caso che io sappia la rappresentazione basata sulla forma normale di Jordan è utile dal punto di vista teorico, perché mette immediatamente in luce le proprietà dell'esponenziale che dipendono dallo spettro della matrice. Ma sono d'accordo che non è così fondamentale come sembra.
In ogni caso che io sappia la rappresentazione basata sulla forma normale di Jordan è utile dal punto di vista teorico, perché mette immediatamente in luce le proprietà dell'esponenziale che dipendono dallo spettro della matrice. Ma sono d'accordo che non è così fondamentale come sembra.
https://books.google.es/books?id=wAONDg ... &q&f=false
Questa è l'introduzione del libro di Jerry Goldstein sui semigruppi di operatori, che sono la generalizzazione a spazi di dimensione infinita dell'esponenziale di matrice (@killing_buddha: pure in analisi c'è gente che ama generalizzare, non credere
). La trasformata di Laplace appare quasi subito, equazione (0.5). La forma normale di Jordan invece non appare proprio.
D'altra parte, c'è un caso particolare in cui la forma normale di Jordan è più semplice, ed è il caso importante in cui \(F\) è simmetrica o antisimmetrica. In quel caso esiste una matrice unitaria \(U\) tale che \(F=U^\star \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2\ldots \lambda_n) U\), con \(\lambda_j\) reali (caso simmetrico) o immaginari puri (caso antisimmetrico). E quindi
\[
e^F= U^\star \mathrm{diag}(e^{\lambda_1}\ldots e^{\lambda_n}) U, \]
e questa formula è importante sia dal punto di vista teorico sia dal punto di vista pratico. La sua generalizzazione a spazi di dimensione infinita passa per la trasformata di Fourier.
Questa è l'introduzione del libro di Jerry Goldstein sui semigruppi di operatori, che sono la generalizzazione a spazi di dimensione infinita dell'esponenziale di matrice (@killing_buddha: pure in analisi c'è gente che ama generalizzare, non credere
). La trasformata di Laplace appare quasi subito, equazione (0.5). La forma normale di Jordan invece non appare proprio.D'altra parte, c'è un caso particolare in cui la forma normale di Jordan è più semplice, ed è il caso importante in cui \(F\) è simmetrica o antisimmetrica. In quel caso esiste una matrice unitaria \(U\) tale che \(F=U^\star \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2\ldots \lambda_n) U\), con \(\lambda_j\) reali (caso simmetrico) o immaginari puri (caso antisimmetrico). E quindi
\[
e^F= U^\star \mathrm{diag}(e^{\lambda_1}\ldots e^{\lambda_n}) U, \]
e questa formula è importante sia dal punto di vista teorico sia dal punto di vista pratico. La sua generalizzazione a spazi di dimensione infinita passa per la trasformata di Fourier.
pure in analisi c'è gente che ama generalizzare, non credere
Si chiama buon senso
Non so darvi referenze matematiche al concetto di esponenziale di una matrice, l'ho trovato all'inizio del libro di sistemi e modelli (Bisiacco, Pillonetto) che non essendo un libro di matematica tratta semplicemente un sistema dinamico lineare autonomo in cui le variabili di stato sono dei vettori. Dice in poche parole che se ci fosse una sola variabile di stato avremmo soluzioni del tipo $x(t)=e^{Ft}x(0)$ con $F$ scalare, ma siccome una variabile di stato può essere anche un vettore allora $F$ è in generale una matrice. Da qui nasce il problema del calcolo di $e^{Ft}$ nei modelli di stato di questo tipo.
La matematica che c'è dietro non la conosco però i metodi di calcolo che conosco e sono elencati nel libro sono questi, in ogni caso grazie per le risposte. Se fosse per me io userei sempre Laplace... ma qui...
Intanto grazie per la risposta, volevo comunque chiederti un chiarimento: scusami ma non riesco a capire il punto del tuo discorso qui. Intanto una matrice simmetrica è diagonalizzabile per il teorema spettrale e non ha senso parlare di autovalori generalizzati quindi forma di Jordan: basta trovare la matrice diagonale, gli autovettori e sarà $e^{F}=ADA^{-1}$ con $D$ la matrice diagonale.
Dal tuo discorso poi $U$ è unitaria quindi come dire $F=diag (\lambda_1,\lambda_2…\lambda_n)$ e per diag intendi la diagonale degli autovalori? Cioè in questo caso per il teorema spettrale possiamo avere $U$ matrice ortogonale ma non unitaria... Più che altro dov'è la matrice di Jordan in tutto quello che dici?
La matematica che c'è dietro non la conosco però i metodi di calcolo che conosco e sono elencati nel libro sono questi, in ogni caso grazie per le risposte. Se fosse per me io userei sempre Laplace... ma qui...
$F=U* diag (\lambda_1,\lambda_2…\lambda_n)U$
Intanto grazie per la risposta, volevo comunque chiederti un chiarimento: scusami ma non riesco a capire il punto del tuo discorso qui. Intanto una matrice simmetrica è diagonalizzabile per il teorema spettrale e non ha senso parlare di autovalori generalizzati quindi forma di Jordan: basta trovare la matrice diagonale, gli autovettori e sarà $e^{F}=ADA^{-1}$ con $D$ la matrice diagonale.
Dal tuo discorso poi $U$ è unitaria quindi come dire $F=diag (\lambda_1,\lambda_2…\lambda_n)$ e per diag intendi la diagonale degli autovalori? Cioè in questo caso per il teorema spettrale possiamo avere $U$ matrice ortogonale ma non unitaria... Più che altro dov'è la matrice di Jordan in tutto quello che dici?
Se la matrice è simmetrica, la forma di Jordan si riduce alla forma diagonale, è questo che volevo dire. Quanto alla prima osservazione del tuo post, se dai una occhiata all'introduzione di Goldstein (nel link a google books) ci trovi materiale interessante, è una lettura non tecnica e che a me è risultata molto illuminante.
ora ho capito, grazie mille! 
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