Esponenziale di una matrice antisimmetrica
Sia $\Omega$ una matrice antisimmetria $3\times3$. Il suo esponenziale è una matrice di rotazione. Infatti dalle proprietà dell'esponenziale di matrici, siccome $\Omega\Omega^T=\Omega^T\Omega$
[tex]I=e^{0}=e^{\Omega+\Omega^T}=e^{\Omega}e^{\Omega^T} \\
det(e^{\Omega})=e^{tr(\Omega)}=e^0=1[/tex]
e dunque $e^{\Omega}$ è ortogonale con determinante unitario.
La serie $\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\Omega^m}{(m+1)!}$ è convergente perchè la norma di ogni elemento è maggiorata dalla norma di $\frac{\Omega^m}{m!}$ che definisce l'esponenziale. Chi mi sa dire qualcosa a riguardo dell'invertibilità della matrice $\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\Omega^m}{(m+1)!}$?
[tex]I=e^{0}=e^{\Omega+\Omega^T}=e^{\Omega}e^{\Omega^T} \\
det(e^{\Omega})=e^{tr(\Omega)}=e^0=1[/tex]
e dunque $e^{\Omega}$ è ortogonale con determinante unitario.
La serie $\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\Omega^m}{(m+1)!}$ è convergente perchè la norma di ogni elemento è maggiorata dalla norma di $\frac{\Omega^m}{m!}$ che definisce l'esponenziale. Chi mi sa dire qualcosa a riguardo dell'invertibilità della matrice $\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\Omega^m}{(m+1)!}$?
Risposte
Io direi che l'inversa di $\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\Omega^m}{(m+1)!}$ è
$(e^{\Omega}-I)^(-1)\Omega$ che è ben definito poichè $(e^{\Omega}-I)$ è invertibile (almeno credo)
$(e^{\Omega}-I)^(-1)\Omega$ che è ben definito poichè $(e^{\Omega}-I)$ è invertibile (almeno credo)
Purtroppo nel caso $3\times 3$ $(e^\Omega-I)$ non è invertibile perchè $e^(\Omega)$ è una matrice di rotazione e ha sempre gli autovalori $1, e^{\vartheta i},e^{- \vartheta i}$. Quindi $\det(e^\Omega-I)=0$. Dalla tua osservazione deduco che
[tex]\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\Omega^{m}}{(m+1)!}=\Omega\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\Omega^{k}}{k!}=\Omega (e^{\Omega}-I)[/tex]
che dunque non è invertibile perchè sia $\Omega$ sia $e^{\Omega}-I$ hanno determinante nullo. Grazie mille per l'aiuto, anche se purtroppo questo fatto implica guai seri per la mia tesi...
[tex]\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\Omega^{m}}{(m+1)!}=\Omega\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\Omega^{k}}{k!}=\Omega (e^{\Omega}-I)[/tex]
che dunque non è invertibile perchè sia $\Omega$ sia $e^{\Omega}-I$ hanno determinante nullo. Grazie mille per l'aiuto, anche se purtroppo questo fatto implica guai seri per la mia tesi...
"onailativ":
Purtroppo nel caso $3\times 3$ $(e^\Omega-I)$ non è invertibile perchè $e^(\Omega)$ è una matrice di rotazione e ha sempre gli autovalori $1, e^{\vartheta i},e^{- \vartheta i}$. Quindi $\det(e^\Omega-I)=0$. Dalla tua osservazione deduco che
[tex]\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\Omega^{m}}{(m+1)!}=\Omega\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\Omega^{k}}{k!}=\Omega (e^{\Omega}-I)[/tex]
che dunque non è invertibile perchè sia $\Omega$ sia $e^{\Omega}-I$ hanno determinante nullo. Grazie mille per l'aiuto, anche se purtroppo questo fatto implica guai seri per la mia tesi...
Prego, se sono stato in qualche modo utile.
Solo non ho ben capito perchè il determinante di $e^{\Omega}-I$ è nullo.
Comunque se hai capito tu sei a posto.
Buona tesi
"misanino":
[quote="onailativ"]Purtroppo nel caso $3\times 3$ $(e^\Omega-I)$ non è invertibile perchè $e^(\Omega)$ è una matrice di rotazione e ha sempre gli autovalori $1, e^{\vartheta i},e^{- \vartheta i}$. Quindi $\det(e^\Omega-I)=0$. Dalla tua osservazione deduco che
[tex]\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\Omega^{m}}{(m+1)!}=\Omega\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\Omega^{k}}{k!}=\Omega (e^{\Omega}-I)[/tex]
che dunque non è invertibile perchè sia $\Omega$ sia $e^{\Omega}-I$ hanno determinante nullo. Grazie mille per l'aiuto, anche se purtroppo questo fatto implica guai seri per la mia tesi...
Prego, se sono stato in qualche modo utile.
Solo non ho ben capito perchè il determinante di $e^{\Omega}-I$ è nullo.
Comunque se hai capito tu sei a posto.
Buona tesi
[/quote]Se hai capito perchè $e^{\Omega}$ è una matrice di rotazione è semplice. Infatti $det(e^{\Omega}-\lambda I)=0$ se e solo se $\lambda$ è un autovalore di $e^{\Omega}
Andando a valutare gli autovalori di una matrice di rotazione $3\times 3$ questa ha sempre tre autovalori di modulo 1 perchè è un'isometria. Infatti
[tex]\left\| Rx \right \| = \left \| x \right \|[/tex]
dunque se $(\lambda, x) $ è una coppia autovalore autovettore
[tex]\left\| Rx \right \| =|\lambda| \left|\x \right\|= \left \| x \right \|[/tex]
da cui $|\lambda|=1$ per ogni autovalore.
Osservando infine che un autovalore $\lambda_{1}$ è sempre reale e due $\lambda,\bar{\lambda}$ sono complessi coniugati e che il determinante di una matrice di rotazione è pari a 1
[tex]det(R)=\lambda_{1} \lambda \bar{\lambda}= \lambda_{1} | \lambda |^2 =\lambda_{1} = 1[/tex]
L'autovalore reale è sempre uguale a 1. Quindi per ogni matrice di rotazione $R$ si ha che $R-I$ ha determinante nullo.
Perfetto!
Ora sono assolutamente d'accordo con te.
Mi spiace per la tua tesi...
Ciao
Ora sono assolutamente d'accordo con te.
Mi spiace per la tua tesi...
Ciao
ahhhhhhhhhh che erroreeeee!
se $\Omega$ fosse invertibile allora $A=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\Omega^{m}}{(m+1)!}= \Omega^{-1} (e^{\Omega}-I)$, ma non lo è... uffy . L'uguaglianza che avevo scritto è sbagliatissima!!! E quindi non si può dire ancora niente sull'invertibilità di $A$. Qualcuno ha altre idee????
se $\Omega$ fosse invertibile allora $A=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\Omega^{m}}{(m+1)!}= \Omega^{-1} (e^{\Omega}-I)$, ma non lo è... uffy . L'uguaglianza che avevo scritto è sbagliatissima!!! E quindi non si può dire ancora niente sull'invertibilità di $A$. Qualcuno ha altre idee????
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