Esponenziale di un operatore differenziale

[Nebula2]

Non riesco a trovare una definizione di esponenziale di un operatore differenziale.
Si applica la solita definizione per serie?
Del tipo $e^\Delta u := \sum_[k=0]^\infty \frac{(\Delta u)^k}{k!}
oppure $e^\frac{d}{dx} u := \sum_[k=0]^\infty \frac{(\frac{du}{dx})^k}{k!}$?
Non c'è niente di più esplicito?

Grazie

[Lord K]

Tendenzialmente gli esponenziali si tendono a definire sempre con serie simili, non credo che ce ne siano altre.

Ovvio che è meglio se attendi un parere migliore del mio.

[irenze]

Quella serie è sicuramente un modo per definire l'operatore. Essendo lo spazio su cui l'operatore agisce di dimensione infinita, ti puoi aspettare però che non sempre quella definizione abbia senso. Un trucco è di usare la teoria di Fredholm e definire ad esempio $e^\Delta$ come l'inverso del suo inverso (motivo: l'inverso del laplaciano è un operatore compatto, che quindi si comporta quasi come gli operatori lineari su spazi di dimensione finita, quindi dare senso alla serie per $\Delta^{-1}$ è più facile).

Un'altra definizione possibile è quella formale: $e^{P(D) t}$ è quell'operatore tale che per ogni $u_0$ (qui sono vaga, ovviamente si dovrebbe specificare in che spazio!) $u(t) = e^{P(D) t} u_0$ risolva $\partial_t u = P(D) u$, $u(0) = u_0$ (motivo: l'operatore è lineare quindi si tenta di applicare l'analogia con i sistemi di ODE).

Un modo più generale per definire operatori che non sono "polinomi di derivate" è definirli come operatori pseudodifferenziali usando le proprietà della trasformata di Fourier: se $a$ è una funzione misurabile, l'operatore pseudodifferenziale di simbolo $a(D)$ è dato da $a(D) := mathcal{F}^-1 a(\xi) \mathcal{F}$, dove $\mathcal{F}$ è la trasformata di Fourier. Vale a dire, $a(D)$ è l'operatore che agisce secondo la regola $a(D) u = mathcal{F}^-1 (a(\xi) \hat{u})$.