Esmetriaercizio Geometria

[jJjjJ1]

Sia V uno spazio vettoriale e \(\displaystyle F: V \longrightarrow R \) un'applicazione lineare. Sia W il sottoinsieme di tutti gli elementi v di V tali che F(v) = 0. Si assuma che W è diverso da V, e sia v' un elemento di V che non appartiene a W. Si dimostri che ogni elemento di V può essere scritto come la somma w + cv' dove w appartiene a W e c è un opportuno scalare.

Io ho pensato che, se un generico elemento v di V può essere scritto come v = w + cv' allora si distinguono due casi:

1. Sia F( v ) = 0, allora v appartiene all'insieme W e potrà essere scritto come v = v + 0v'
2. Sia F( v ) diverso da 0 non so come ragionare, ho dimostrato che W è un sottospazio di V e, assunti w1, ... , ws come i vettori che formano una base di W. Ho provato a dimostrare che w1, ... , ws, v' è una base di V, ma riesco solo a dimostrare l'indipendenza lineare. Mi date una mano?

[jitter1]

Che ne dite di questo procedimento?

W è il nucleo dell'applicazione.
Abbiamo un v' fissato non appartenente a W; dobbiamo dimostrare che per qualsiasi $v \in V$ esistono un vettore w del nucleo e uno scalare c tale che

$ v = w + cv'$

Se scriviamo i vettori dell'uguaglianza "per esteso", esplicitando le coordinate, otteniamo il sistema:

$ ( ( v_1 ),( v_2 ),( ... ),( v_n ) ) = ( ( w_1 ),( w_2 ),( ... ),(f( v_i, ..., v_j )) )+c( ( v'_1 ),( v'_2 ),( ... ),( v'_n ) ) $ .

Infatti, poiché il nucleo è per ipotesi è diverso da V, qualcuna delle coordinate di W è funzione dell'altra perché, se fossero tutte "indipendenti", il nucleo avrebbe la stessa dimensione di V, cioè coinciderebbe con V.

Otteniamo quindi il sistema

${ ( v_1 =w_1+cv'_1),( v_i =w_i+cv'_i),( ... ), ( v_n =f(w_i, ... wj) +cv'_n):} $

che ha $n$ equazioni e non più di $n$ incognite, e quindi ha soluzione.

Pertanto esistono w e c tali che, fissato v', v = w + cv'.