Esistenza trasformazione proiettiva.
Salve ragazzi, ho il seguente esercizio , è da oggi pomeriggio che ci sbatto la testa ma non ne vengo a capo 
.7
$\mathbb{K} = RR$ oppure $\mathbb{K}=CC$
Consideriamo $\mathbb{KP_2}$ il piano numerico proiettivo. E sia $r$ una sua retta munita della struttura canonica di retta geometrica proiettiva. Siano $h_1,h_2$ due sistemi coordinati di $r$ relativi a due coppie di punti distinti di $r$, con coodinate assegnate. Provare che $\exists T \in Pr_o(\mathbb{KP_1}} : h_2 = T ° h_1 $, dove con $\mathbb{KP_1}$ intendo la retta numerica proiettiva.
La mia idea è in poche parole costruirmi tale proiettività , ad esempio voglio provare che posto $T=h_2°h_1^{-1}$ tale applicazione è una trasformazione proiettiva. Ma prendendo le due coppie di punti generici risulta questo modus operandi alquanto calcoloso, in poche parole esplicitare $h_2°h_1^{-1}$ risulta impresa ardua e non sono pienamente convinto che sia la strada meglio adatta a risolvere l'esercizio.
Cosa mi sto perdendo? Qualche input ?
.7$\mathbb{K} = RR$ oppure $\mathbb{K}=CC$
Consideriamo $\mathbb{KP_2}$ il piano numerico proiettivo. E sia $r$ una sua retta munita della struttura canonica di retta geometrica proiettiva. Siano $h_1,h_2$ due sistemi coordinati di $r$ relativi a due coppie di punti distinti di $r$, con coodinate assegnate. Provare che $\exists T \in Pr_o(\mathbb{KP_1}} : h_2 = T ° h_1 $, dove con $\mathbb{KP_1}$ intendo la retta numerica proiettiva.
La mia idea è in poche parole costruirmi tale proiettività , ad esempio voglio provare che posto $T=h_2°h_1^{-1}$ tale applicazione è una trasformazione proiettiva. Ma prendendo le due coppie di punti generici risulta questo modus operandi alquanto calcoloso, in poche parole esplicitare $h_2°h_1^{-1}$ risulta impresa ardua e non sono pienamente convinto che sia la strada meglio adatta a risolvere l'esercizio.
Cosa mi sto perdendo? Qualche input ?
Risposte
Probabilmente non avrò colto il problema, però...
Su $r$ stai considerando la struttura canonica di retta geometrica proiettiva, che resta definita da un certo sistema coordinato $h:r\to \mathbb{K}"P"_1$:
\[H:=\{T\circ h\,|\, T\in\text{Pro}(\mathbb{K}\text{P}_n)\}\]
Ora, se $h_1$ e $h_2$ stanno in $H$, è chiaro che esiste una $T$ per cui $h_2=T\circ h_1$: se $h_1=T_1\circ h$ e $h_2=T_2\circ h$, scegli $T=T_2\circ T_1^{-1}$.
Immagino a questo punto che il problema sia più che altro determinare esplicitamente la $T$, dico bene?
Su $r$ stai considerando la struttura canonica di retta geometrica proiettiva, che resta definita da un certo sistema coordinato $h:r\to \mathbb{K}"P"_1$:
\[H:=\{T\circ h\,|\, T\in\text{Pro}(\mathbb{K}\text{P}_n)\}\]
Ora, se $h_1$ e $h_2$ stanno in $H$, è chiaro che esiste una $T$ per cui $h_2=T\circ h_1$: se $h_1=T_1\circ h$ e $h_2=T_2\circ h$, scegli $T=T_2\circ T_1^{-1}$.
Immagino a questo punto che il problema sia più che altro determinare esplicitamente la $T$, dico bene?
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