Esistenza matrice tale che $B^2=A$
Sia $A ∈ M_n(CC)$ una matrice invertibile. Provare che esiste una matrice $B ∈M_n(CC)$ tale che $B^2 = A$.
Io pensato in questa direzione:
Siccome il campo è $CC$ sappiamo che $A$ è jordanizzabile, quindi esiste $HinGL_n(CC)$ tale che $A=H^-1JH$ dove $J$ è la matrice di Jordan che ha sulla diagonale termini diversi da $0$ dato che A è invertibile. Possiamo quindi scrivere cosi $A=(H^-1J^(1/2)H)^2$ dove $K=J^(1/2)$ è la matrice tale che $K^2=J$. Inizio quindi a ragionare per blocchi di Jordan:
Se il blocco è $2xx2$ allora la matrice è $K=((sqrt(λ),1/(2sqrt(λ))),(0,sqrt(λ)))$ infatti $K^2=((λ,1),(0,λ))$.
Se il blocco è $3xx3$ diventa difficile, infatti una matrice vicina a quella possibile è $K=((sqrt(λ),1/(2sqrt(λ)),0),(0,sqrt(λ),1/(2sqrt(λ))),(0,0,sqrt(λ)))$ da cui $K^2=((λ,1,1/(4λ)),(0,λ,1),(0,0,λ))$.
Io pensato in questa direzione:
Siccome il campo è $CC$ sappiamo che $A$ è jordanizzabile, quindi esiste $HinGL_n(CC)$ tale che $A=H^-1JH$ dove $J$ è la matrice di Jordan che ha sulla diagonale termini diversi da $0$ dato che A è invertibile. Possiamo quindi scrivere cosi $A=(H^-1J^(1/2)H)^2$ dove $K=J^(1/2)$ è la matrice tale che $K^2=J$. Inizio quindi a ragionare per blocchi di Jordan:
Se il blocco è $2xx2$ allora la matrice è $K=((sqrt(λ),1/(2sqrt(λ))),(0,sqrt(λ)))$ infatti $K^2=((λ,1),(0,λ))$.
Se il blocco è $3xx3$ diventa difficile, infatti una matrice vicina a quella possibile è $K=((sqrt(λ),1/(2sqrt(λ)),0),(0,sqrt(λ),1/(2sqrt(λ))),(0,0,sqrt(λ)))$ da cui $K^2=((λ,1,1/(4λ)),(0,λ,1),(0,0,λ))$.
Risposte
Forse posso pensare che $K^2$ è simile a $J=((λ,1,0),(0,λ,1),(0,0,λ)) $ quindi $J=M^-1K^2M=(M^-1KM)^2$, e questo ragionamento lo estendo a tutti i blocchi $nxxn$.
"andreadel1988":Sì esatto.
Forse posso pensare che $K^2$ è simile a $J$
"Martino":
Sì esatto.
Quindi questa è una buona via?
Sì
Invece se avessi che $A ∈ M_n(K)$ una matrice triangolabile. Dimostrare che se per ogni intero
$a > 0$ ed ogni $λ ∈ K$ il nucleo di $(A − λI)^a$ ha dimensione pari, allora esiste una matrice $B ∈ M_n(RR)$ tale che $B^2 = A$.
Siccome triangolabile allora è jordanizzabile, inoltre $dimKer(A − λI)^a$ rappresenta la dimensione degli autospazi generalizzati dell'autovalore $λ$. Io ho pensato che se dimostrassi che per $λ=0$ non ci sono blocchi di Jordan (ovvero $A|_{KerA}$ è diagonalizzabile) allora potrei ragionare come nel caso di prima. Quindi mi dovrei ridurre a studiare $KerA^a$. Ho notato che se riscrivo $A$ in forma di Jordan concentrandomi sul blocco con autovalore $0$ ho:
dove $k$ deve essere necessariamente dispari poichè $dimKerA=dimKerJ=2n_1$. Elevando al quadrato e portando in forma di Jordan ottengo:
i cui due blocchi di Jordan sono lunghi o entrambi $i/2$ oppure uno $(i+1)/2$ e l altro $(i-1)/2$ (dipende se $i$ pari o dispari). Comunque viene che $dimKerJ^2=k+2$ che è un numero dispari assurdo poiché $dimKerJ^2=dimKerA^2=2n_2$ e da questo deduco che non esistono blocchi di Jordan per autovalore $0$. Infine per gli altri autovalori ragiono come nel primo esercizio e metto tutto insieme.
$a > 0$ ed ogni $λ ∈ K$ il nucleo di $(A − λI)^a$ ha dimensione pari, allora esiste una matrice $B ∈ M_n(RR)$ tale che $B^2 = A$.
Siccome triangolabile allora è jordanizzabile, inoltre $dimKer(A − λI)^a$ rappresenta la dimensione degli autospazi generalizzati dell'autovalore $λ$. Io ho pensato che se dimostrassi che per $λ=0$ non ci sono blocchi di Jordan (ovvero $A|_{KerA}$ è diagonalizzabile) allora potrei ragionare come nel caso di prima. Quindi mi dovrei ridurre a studiare $KerA^a$. Ho notato che se riscrivo $A$ in forma di Jordan concentrandomi sul blocco con autovalore $0$ ho:
dove $k$ deve essere necessariamente dispari poichè $dimKerA=dimKerJ=2n_1$. Elevando al quadrato e portando in forma di Jordan ottengo:
i cui due blocchi di Jordan sono lunghi o entrambi $i/2$ oppure uno $(i+1)/2$ e l altro $(i-1)/2$ (dipende se $i$ pari o dispari). Comunque viene che $dimKerJ^2=k+2$ che è un numero dispari assurdo poiché $dimKerJ^2=dimKerA^2=2n_2$ e da questo deduco che non esistono blocchi di Jordan per autovalore $0$. Infine per gli altri autovalori ragiono come nel primo esercizio e metto tutto insieme.
No perché per esempio
$((0,0,0,1),(0,0,0,0),(1,0,0,0),(0,1,0,0))^2 = ((0,1,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,0,0))$.
Considera il caso in cui hai blocchi di Jordan associati all'autovalore $0$ ripetuti un numero pari di volte.
PS. Non ho capito perché il tuo $k$ è dispari.
$((0,0,0,1),(0,0,0,0),(1,0,0,0),(0,1,0,0))^2 = ((0,1,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,0,0))$.
Considera il caso in cui hai blocchi di Jordan associati all'autovalore $0$ ripetuti un numero pari di volte.
PS. Non ho capito perché il tuo $k$ è dispari.
"Martino":
No perché per esempio
$((0,0,0,1),(0,0,0,0),(1,0,0,0),(0,1,0,0))^2 = ((0,1,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,0,0))$.
Considera il caso in cui hai blocchi di Jordan associati all'autovalore $0$ ripetuti un numero pari di volte.
PS. Non ho capito perché il tuo $k$ è dispari.
E però in questo caso $Ker((0,0,0,1),(0,0,0,0),(1,0,0,0),(0,1,0,0))=1$ mentre dice che deve essere pari per ogni potenza,
$k$ deve essere dispari proprio perchè il $KerJ=k+1$ e deve essere pari per ipotesi
Ma dev'essere pari per $A$, non per $B$ (con $B^2=A$).
"Martino":
Ma dev'essere pari per $A$, non per $B$ (con $B^2=A$).
Infatti non c'entra $B$ ma $J$ che sarebbe la matrice di Jordan simile ad $A$ e per questo si ha che $dimKer(A-λI)^a=dimKer(J-λI)^a=2n$
"Martino":
No perché per esempio
$((0,0,0,1),(0,0,0,0),(1,0,0,0),(0,1,0,0))^2 = ((0,1,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,0,0))$.
Ma in questo esempio che ti ho dato la matrice $A$ è
$A = ((0,1,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,0,0))$
Il suo nucleo ha dimensione $2$, il nucleo di $A^n$ ha dimensione $4$ per ogni $n > 1$. E se $lambda ne 0$ allora il nucleo di $(A-lambda I)^n$ ha dimensione $0$ per ogni $n$. Non vedo contraddizioni.
"Martino":
Ma in questo esempio che ti ho dato la matrice $A$ è
$A = ((0,1,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,0,0))$
Il suo nucleo ha dimensione $2$, il nucleo di $A^n$ ha dimensione $4$ per ogni $n > 1$. E se $lambda ne 0$ allora il nucleo di $(A-lambda I)^n$ ha dimensione $0$ per ogni $n$. Non vedo contraddizioni.
Quindi devo considerare i blocchi dell'autovalore $0$ e non solo uno.
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