Esistenza infinti endomorfismi soddisfacenti date ipotesi

[pingpong2]

Buona domenica a tutti
sto cercando di dimostrare che esistono infinti endomorfismi diagonalizzabili su $RR^4$ tali che $ f(RR^4)=<(-1,1,1,1) , (1,0,2,3)>$ e sia $Spec(f)={1,2,0}$ . Come posso farlo? fino ad ora sono riuscito a trovarne uno, quello associato alla seguente matrice:
$((0,-1,1,0),(0,1,0,0),(0,1,2,0),(0,1,3,0))$

grazie in anticipo per l'eventuale risposta, buon pranzo a tutti!
G

PS: ho già dimostrato che "se esistono, allora sono diagonalizzabili". il mio problema consiste nel dimostrare che ne esistono infiniti.

[Zkeggia]

Beh, allora, io procederei così. Un endomorfismo è costruito a partire da una base di vettori. Noi vogliamo che l'immagine sia fatta da quei due vettori lì, che abbia almeno 3 autovalori. Possiamo supporre anche che il nucleo abbia dimensione 2, tanto non è un'ipotesi non compatibile con le richieste del problema. Ma allora, possiamo prendere come base i vettori $<(-1,1,1,1),(1/2,0,1,3/2)>$ e porre che tutti gli endomorfismi applicati a questi due vettori diano come risultato, nel primo caso il vettore $(-1,1,1,1)$ e nel secondo caso il vettore $(1,0,2,3)$.
Ora manca da definire l'endomorfismo sugli altri vettori della base, ed è così che implementiamo la richiesta di "infiniti endomorfismi". Infatti, basta porre come altri due vettori della base due vettori il cui span generi un piano P tale che P abbia intersezione banale con lo span dei primi due vettori della base, e definire $f(P) = 0$. Dal momento che preso un piano per l'origine in $RR^4$ esistono infiniti altri piani per l'origine tali che l'intersezione con questo piano sia banale, abbiamo la tesi: al variare degli ultimi due vettori della base l'endomorfismo fa quello che è richiesto. Spero di essere stato chiaro.