Esistenza funzione lineare
Ragazzi sono in difficoltà con un esercizio.
Allora ho la base canonica di R^4 (e1,e2,e3,e4)
Devo discutere l'esistenza di una funzione lineare f: R^4 -- R^3 tale che f(e1) = f(e1+e2) = 0
e ( 1 1 1) (0 1 1) stanno nell'immagine di f.
L'esercizio mi suggerisce di trovare prima una base di R^4 contenente i vettori e1, e1+e2. Quali altri due vettori posso aggiungere?
Io ho pensato di aggiungere e3 ed e4. Però poi non conosco le loro immagini. Come si fa?
Allora ho la base canonica di R^4 (e1,e2,e3,e4)
Devo discutere l'esistenza di una funzione lineare f: R^4 -- R^3 tale che f(e1) = f(e1+e2) = 0
e ( 1 1 1) (0 1 1) stanno nell'immagine di f.
L'esercizio mi suggerisce di trovare prima una base di R^4 contenente i vettori e1, e1+e2. Quali altri due vettori posso aggiungere?
Io ho pensato di aggiungere e3 ed e4. Però poi non conosco le loro immagini. Come si fa?
Risposte
"fede.991":
Ragazzi sono in difficoltà con un esercizio.
$epsilon=(e1,e2,e3,e4)=\text{ base canonica di } RR^4$
Devo discutere l'esistenza di una funzione lineare
$f: RR^4 -> RR^3$ tale che
$f(e_1) = f(e_1+e_2) = 0$
e $( 1, 1, 1), (0 ,1 ,1) in Im(f)$.
L'esercizio mi suggerisce di trovare prima una base di $RR^4$ contenente i vettori $e_1, e_1+e_2$.
Quali altri due vettori posso aggiungere?
Io ho pensato di aggiungere $e_3$ ed $e_4$. Però poi non conosco le loro immagini. Come si fa?
Allora il
Teorema di estensione dice che
$V, W$ spa. vett., ${v_1, ..., v_n}$ base di $V$,
$w_1, ..., w_2 in W$ qualsiasi.
Allora $EE ! f: V -> W \text{ lineare }$ tale che
$f(v_1)=w_1, ..., f(v_n)=w_n$
pertanto, per poter usare questo teorema, occorre trovare una base di $RR^4$, e facciamolo:
oltre ai vettori $e_1, e_1+e_2$, suggeriti, aggiungiamo proprio $e_3, e_4$, e sappiamo che questi quattro vettori sono l.i.,
i.e $ {e_1, e_1+e_2, e_3, e_4}$ è una base di $RR^4$.
Possiamo così applicare il teorema di estensione:
sappiamo che $f(e_1) = f(e_1+e_2) = 0$[nota]Equivalentemente che $e_1, e_1+e_2 in Ker(f)$[/nota] e quindi poniamo:
$f(e_1)= 0$
$f(e_1+e_2) = 0$
$f(e_1+e_2) = 0$
ma sappiamo anche che $( 1, 1, 1), (0 ,1 ,1) in Im(f)$,
cioè che $w in W, EE v in V$ tale che $w=f(v)$
pertanto poniamo
$f(e_3)=(1,1,1)$
$f(e_4)=(0,1,1)$.[nota]Sarebbe andato bene, per questo esercizio, anche porre: $f(e_3)=(0,1,1)$, $f(e_4)=(1,1,1)$, l'importante è che i vettori dell'immagine abbiano una loro controimmagine in $V$.[/nota]
$f(e_4)=(0,1,1)$.[nota]Sarebbe andato bene, per questo esercizio, anche porre: $f(e_3)=(0,1,1)$, $f(e_4)=(1,1,1)$, l'importante è che i vettori dell'immagine abbiano una loro controimmagine in $V$.[/nota]
Grazie mille molto gentile.
Avrei un'altra domanda con un altro esercizio.
Ho uno spazio vettoriale V di dimensione 3 e A = (v,w,u) una base di V.
Si mostri che B = ( v, w+v, u-v) è una base di V. Ho impostato una C.L. nulla e ho trovato che è quella banale. Giusto?
Poi mi chiede di mostrare se esiste una funzione lineare f:V----V tale che f(v)= v+u , f(w+v) = u, f(u-v) = v-u. L'esistenza è l'unicità sono assicurate dal teorema di estensione. A me viene che la funzione è f( av + b(w+v) +c(u-v)) = a(v+u) + bu + c(v-u)
Mi chiede poi di calcolare f(v+w+u). Mi viene 2v+u.
A questo punto mi dice di trovare una base del Ker e dell'im.
Im di f = L (v+u , u , v-u) = L (u, v-u). v+u si scarta e allora la dim dell'imm è 2.
Per il confronto delle dimensioni allora il ker avrà dim = 1
Come trovo l'elemento che costituisce base del ker?
Avrei un'altra domanda con un altro esercizio.
Ho uno spazio vettoriale V di dimensione 3 e A = (v,w,u) una base di V.
Si mostri che B = ( v, w+v, u-v) è una base di V. Ho impostato una C.L. nulla e ho trovato che è quella banale. Giusto?
Poi mi chiede di mostrare se esiste una funzione lineare f:V----V tale che f(v)= v+u , f(w+v) = u, f(u-v) = v-u. L'esistenza è l'unicità sono assicurate dal teorema di estensione. A me viene che la funzione è f( av + b(w+v) +c(u-v)) = a(v+u) + bu + c(v-u)
Mi chiede poi di calcolare f(v+w+u). Mi viene 2v+u.
A questo punto mi dice di trovare una base del Ker e dell'im.
Im di f = L (v+u , u , v-u) = L (u, v-u). v+u si scarta e allora la dim dell'imm è 2.
Per il confronto delle dimensioni allora il ker avrà dim = 1
Come trovo l'elemento che costituisce base del ker?
é possibile che sia il vettore -u-2w?
"fede.991":
Ho uno spazio vettoriale V di dimensione $3$ e $mathcal (A) = (v,w,u)$ una base di $V$.
Si mostri che $mathcal (B) = ( v, w+v, u-v)$ è una base di V. Ho impostato una C.L. nulla e ho trovato che è quella banale. Giusto?
Più semplicemente potevi ricavarti le componenti dei vettori di $mathcal (B)$ rispetto alla base $mathcal (A)$, equivale al calcolo della matrice associata $M_(A, B)(f)$, e calcolarne il rango; se massimo, allora ne consegue che i vettori di $mathcal (B)$ sono l.i., cioè costituiscono una base.
"fede.991":
Poi mi chiede di mostrare se
esiste una funzione lineare $ f:V->V$ tale che
$f(v)= v+u$
$f(w+v) = u$
$f(u-v) = v-u$
L'esistenza è l'unicità sono assicurate dal teorema di estensione. A me viene che la funzione è f( av + b(w+v) +c(u-v)) = a(v+u) + bu + c(v-u)
Mi chiede poi di calcolare $f(v+w+u)=2v+u$.
"fede.991":
A questo punto mi dice di trovare una base del Ker e dell'im.
$Im(f)$ = $mathcal (L) (v+u , u , v-u) = L (u, v-u)$.
$v+u$ si scarta e allora la $dim(Im)=2$.
Per il confronto delle dimensioni allora il $dim(ker(f)= 1$
Come trovo l'elemento che costituisce base del ker?
é possibile che sia il vettore $-u-2w$?
Verifichiamo se il vettore da te suggerito appartiene al $ker(f)$, se così fosso significherebbe che
$f(-u-2w)=-f(u)-2f(w)=$[nota]$f(u)=v-u+f(v)=v-u+v+u=2v$
$f(w)=u-f(v)=u-v-u=-v$[/nota]$-2v+2v=0$
Quindi $-u-2w in ker(f)$.
$f(w)=u-f(v)=u-v-u=-v$[/nota]$-2v+2v=0$
Quindi $-u-2w in ker(f)$.
Alternativamente:
Per trovare un vettore$ne0$, seguirei l'indizio dell'esercizio:
sappiamo che $f(v+w+u)=2v+u$
e per ottenere lo $0$ operiamo in questo modo:
$(2v+u)-2(v+u)+u=0$
e poiché vale [nota]$2v+u=f(v+w+u)$
$-2(v+u)=-2f(v)=f(-2v)$
$u=f(w+v)$[/nota], si ha che
$f(v+w+u)+f(-2v)+f(w+v)=f(v+w+u-2v+w+v)=$
$=f(2w+u)=0 hArr 2w+u in Ker(f)$
e per ottenere lo $0$ operiamo in questo modo:
$(2v+u)-2(v+u)+u=0$
e poiché vale [nota]$2v+u=f(v+w+u)$
$-2(v+u)=-2f(v)=f(-2v)$
$u=f(w+v)$[/nota], si ha che
$f(v+w+u)+f(-2v)+f(w+v)=f(v+w+u-2v+w+v)=$
$=f(2w+u)=0 hArr 2w+u in Ker(f)$
e, dato che $dim(ker(f)=1 rArr {2w+u}$ base del $ker(f)$.
EDIT: corretto errore di calcolo.
Grazie! Perdonami però a me continua a risultare che il vettore che ho indicato io è elemento del ker. Potresti ricontrollare il calcolo? oppure continuo a sbagliare io. Riporto i miei calcoli:
f(-2w-u) = v + u - 2u -v + u = 0
perché ho fatto questo ragionamento. partendo da questa
f( av + b(w+v) + c(u-v)) =
f(v(a+b-c) + wb + uc) cioè dentro la funzione ho scritto una combinazione dei vettori v w u
quindi mi calcolo f (-2w-u) ovvero pongo
a+b-c=0
b=-2
c=-1
da cui a=1
a quel punto sostituisco questi valori nel risultato della funzione e viene 0.
Continua ad essere sbagliato?
f(-2w-u) = v + u - 2u -v + u = 0
perché ho fatto questo ragionamento. partendo da questa
f( av + b(w+v) + c(u-v)) =
f(v(a+b-c) + wb + uc) cioè dentro la funzione ho scritto una combinazione dei vettori v w u
quindi mi calcolo f (-2w-u) ovvero pongo
a+b-c=0
b=-2
c=-1
da cui a=1
a quel punto sostituisco questi valori nel risultato della funzione e viene 0.
Continua ad essere sbagliato?
"fede.991":
Grazie! Perdonami però a me continua a risultare che il vettore che ho indicato io è elemento del ker. Potresti ricontrollare il calcolo? oppure continuo a sbagliare io. Riporto i miei calcoli:
$f(-2w-u) = v + u - 2u -v + u = 0$
Perché ho fatto questo ragionamento. partendo da questa
$f( av + b(w+v) + c(u-v)) = $
$f(v(a+b-c) + wb + uc) $ cioè dentro la funzione ho scritto una combinazione dei vettori v w u
quindi mi calcolo $f (-2w-u) $ ovvero pongo
$a+b-c=0$
$b=-2$
$c=-1$
da cui $a=1$
a quel punto sostituisco questi valori nel risultato della funzione e viene $0$.
Continua ad essere sbagliato?
Ops, trovato l'errore (mio) $f(w)=u-f(v)=u-v-u=-v $ (e non $v$).
Mi sono accorto di aver sbagliato perché $ (2w+u)=-1 (u+2w)$.
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