Esistenza ed unicità di un endomorfismo
mi sono imbattuto in questo esercizio in cui mi si chiede di trovare quei valori per i quali esiste ed è unico l'endomorfismo $f:RR^3->RR^3$ tale che
$f(0,1,1)=(1,1,0)$
$f^2=4i$ dove $i$ è l'identità
$(2h-1,1,h)$ è autovettore rispetto all'autovalore $2$
dopo una serie di banali sostituzioni mi sono trovato le relazioni che definisco l'endomorfismo:
$f(0,1,1)=(1,1,0)$
$f(1,1,0)=(0,4,4)$
$f(2h-1,1,h)=(4h-4,2,2h)$
trovare i valori i quali fanno si che l'endomorfismo esista è semplice.basta fare si che i vettori $(0,1,1),(1,1,0),(2h-1,1,h)$ formino una base di $RR^3$ ovvero siano linearmente indipendenti.è questo è facile verificarlo.per $h!=2/3$ i vettori formano una base di $RR^3$.
il mio dubbio sta: cosa vuol dire endomorfismo unico.come faccio a determinare l'unicità di un endomorfismo?
$f(0,1,1)=(1,1,0)$
$f^2=4i$ dove $i$ è l'identità
$(2h-1,1,h)$ è autovettore rispetto all'autovalore $2$
dopo una serie di banali sostituzioni mi sono trovato le relazioni che definisco l'endomorfismo:
$f(0,1,1)=(1,1,0)$
$f(1,1,0)=(0,4,4)$
$f(2h-1,1,h)=(4h-4,2,2h)$
trovare i valori i quali fanno si che l'endomorfismo esista è semplice.basta fare si che i vettori $(0,1,1),(1,1,0),(2h-1,1,h)$ formino una base di $RR^3$ ovvero siano linearmente indipendenti.è questo è facile verificarlo.per $h!=2/3$ i vettori formano una base di $RR^3$.
il mio dubbio sta: cosa vuol dire endomorfismo unico.come faccio a determinare l'unicità di un endomorfismo?
Risposte
rimuginando ancora un pò su, per determinare i valori che rendono unico l'endomorfismo bisogna che le immagini della basi assegnate formino anch'esse una base.quindi i vettori $(1,1,0),(0,4,4),(4h-4,2,2h)$ devono formare una base del codominio $RR^3$.e questo avviene per $h!=1$
ovviamente attendo eventuali smentite delle parole dette
ovviamente attendo eventuali smentite delle parole dette
Una piccola svista, $f(2h-1,1,h)=(4h-2,2,2h)$.
Un'applicazione lineare tra spazi vettoriali è determinata dai valori che assume sui vettori di una base. Consegue, che due applicazioni coincidono se assumono gli stessi valori sui vettori di una base.
Non è menzionata la condizione che una base deve andare in una base, certo la scelta delle immagini condiziona la "qualità" dell'applicazione lineare.
Per esempio, potresti determinare i valori di $h$ per i quali quell'applicazione risulta essere un isomorfismo.
Un'applicazione lineare tra spazi vettoriali è determinata dai valori che assume sui vettori di una base. Consegue, che due applicazioni coincidono se assumono gli stessi valori sui vettori di una base.
Non è menzionata la condizione che una base deve andare in una base, certo la scelta delle immagini condiziona la "qualità" dell'applicazione lineare.
Per esempio, potresti determinare i valori di $h$ per i quali quell'applicazione risulta essere un isomorfismo.
quindi stando a quello che mi chiede l'esercizio basta solamente che $h!=2/3$ e l'endomorfismo è unico e determinato.esatto?la condizione $h!=1$ è superflua.
"mazzy89":
quindi stando a quello che mi chiede l'esercizio basta solamente che $h!=2/3$ e l'endomorfismo è unico e determinato.esatto?la condizione $h!=1$ è superflua.
Si è così, per garantirsi l'unicità dell'endomorfismo non è necessario porre la condizione, come tu dici, $h!=1$!
Controlla quello che ti ho detto sull'immagine di $(2h-2,2,h)$ perchè ti porta al risultato errato di $h!=1$.
Cosa potresti dire se $h=2/3$? Si, l'endomorfismo esiste, ma è anche un......... (Vedi che il valore uguale è solo una coincidenza).
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