Esistenza e unicità al variare del parametro k.
Ciao a tutti,
mi servirebbe che qualcuno mi correggesse i conti di questo esercizio.
Al variare del parametro reale $k$, discutere l'esistenza e l'unicità di applicazioni $F_k$ da $RR^3$ in sé tali che siano soddisfatte le seguenti condizioni:
$F_k((k+1),(-2),(-3))=((2),(3),(0));F_k=((0),(1),(k^2-1))=((0),(1),(2K));F_k((1),(0),(0))=((k+1),(-2),(3))$
a) Dire se esistono valori di $k$ per cui $F_k$ esiste e non è iniettiva. In tali casi, calcolare la dimensione di $Im(F_k)$.
Prima di tutto calcolo il rango della matrice formata dai vettori del dominio:
$((k+1,0,1),(-2,1,0),(-3,k^2-1,0)) rArr ((-2,1,0),(0,(k+1)/2,0),(0,0,(-2k^2-5)/(k+1)))$
Il rango è determinato dal pivot dell'ultima riga e si annulla per $k=+- isqrt(10)/2$
E' evidente che c'è qualcosa che non va...
Dove ho sbagliato a fare i conti?
mi servirebbe che qualcuno mi correggesse i conti di questo esercizio.
Al variare del parametro reale $k$, discutere l'esistenza e l'unicità di applicazioni $F_k$ da $RR^3$ in sé tali che siano soddisfatte le seguenti condizioni:
$F_k((k+1),(-2),(-3))=((2),(3),(0));F_k=((0),(1),(k^2-1))=((0),(1),(2K));F_k((1),(0),(0))=((k+1),(-2),(3))$
a) Dire se esistono valori di $k$ per cui $F_k$ esiste e non è iniettiva. In tali casi, calcolare la dimensione di $Im(F_k)$.
Prima di tutto calcolo il rango della matrice formata dai vettori del dominio:
$((k+1,0,1),(-2,1,0),(-3,k^2-1,0)) rArr ((-2,1,0),(0,(k+1)/2,0),(0,0,(-2k^2-5)/(k+1)))$
Il rango è determinato dal pivot dell'ultima riga e si annulla per $k=+- isqrt(10)/2$
E' evidente che c'è qualcosa che non va...
Dove ho sbagliato a fare i conti?
Risposte
La prima cosa che mi salta all'occhio è che nell'ultima matrice, ponendo $k=-1$, ottieni un determinante nullo (riga di zeri).
@Ernesto01: $k+1ne0$... 
Disporle in riga o in colonna è equivalente, quindi tanto vale disporle in riga ed evitare calcoli astrusi:
$R_3->R_3-(k+1)R_1$
$R_3->R_3+2R_2$
Les jeux sont faits!
Disporle in riga o in colonna è equivalente, quindi tanto vale disporle in riga ed evitare calcoli astrusi:
$( ( 1 , 0,0),( 0,1,k^2-1 ),( k+1,-2,-3) ) $
$R_3->R_3-(k+1)R_1$
$( ( 1 , 0,0),( 0,1,k^2-1 ),( 0,-2,-3) ) $
$R_3->R_3+2R_2$
$( ( 1 , 0,0),( 0,1,k^2-1 ),( 0,0,2k^2-5) ) $
Les jeux sont faits!
Grazie mille Magma!!!
per quanto riguarda la soluzione al punto a), dovrei trovarmi la matrice associata rispetto le basi canoniche e studiare il sistema omogeneo per determinare per quali valori di $k$ l'applicazione non è iniettiva. Fatto questo, tramite il teorema di nullità più rango, determino la dimensione dell'immagine.
Bene, in genere per trovare la matrice associata, riswcrivo i vettori del dominio rispetto la base canonica e ne ricavo le immagini relative:
$x((k+1),(-2),(-3))+y((0),(1),(k^2-1))+z((1),(0),(0))=((1),(0),(0))$
$x((k+1),(-2),(-3))+y((0),(1),(k^2-1))+z((1),(0),(0))=((0),(1),(0))$
$x((k+1),(-2),(-3))+y((0),(1),(k^2-1))+z((1),(0),(0))=((0),(0),(1))$
Però con questi vettori parametrici mi perdo nei conti...
Non c'è un modo più sbrigativo?
per quanto riguarda la soluzione al punto a), dovrei trovarmi la matrice associata rispetto le basi canoniche e studiare il sistema omogeneo per determinare per quali valori di $k$ l'applicazione non è iniettiva. Fatto questo, tramite il teorema di nullità più rango, determino la dimensione dell'immagine.
Bene, in genere per trovare la matrice associata, riswcrivo i vettori del dominio rispetto la base canonica e ne ricavo le immagini relative:
$x((k+1),(-2),(-3))+y((0),(1),(k^2-1))+z((1),(0),(0))=((1),(0),(0))$
$x((k+1),(-2),(-3))+y((0),(1),(k^2-1))+z((1),(0),(0))=((0),(1),(0))$
$x((k+1),(-2),(-3))+y((0),(1),(k^2-1))+z((1),(0),(0))=((0),(0),(1))$
Però con questi vettori parametrici mi perdo nei conti...
Non c'è un modo più sbrigativo?
"BRN":
Non c'è un modo più sbrigativo?
Si
$A=((k+1,0,1),(-2,1,0),(-3,k^2-1,0))$ $B=((2,0,k+1),(3,1,-2),(0,2k,3))$
Dato che $TA=B$ allora T esiste ed è unica se $T=BA^-1$ ovvero A deve essere invertibile, quindi $det(A)!=0$
E hai già trovato i valori che k non può assumere.
Ora affinchè T sia iniettiva, deve essere singolare. $det(T)=det(BA^-1)=det(B)*det(A^-1)=det(B)*1/det(A)=0$
Abbiamo già imposto che $det(A)!=0$, quindi c'è solo da analizzare $det(B)=0$
"BRN":
Bene, in genere per trovare la matrice associata, riscrivo i vettori del dominio rispetto la base canonica e ne ricavo le immagini relative:
[ot]$x((k+1),(-2),(-3))+y((0),(1),(k^2-1))+z((1),(0),(0))=((1),(0),(0))$
$x((k+1),(-2),(-3))+y((0),(1),(k^2-1))+z((1),(0),(0))=((0),(1),(0))$
$x((k+1),(-2),(-3))+y((0),(1),(k^2-1))+z((1),(0),(0))=((0),(0),(1))$[/ot]
Sei sicuro?
La matrice associata ha per colonna le componenti delle immagini rispetto una base del codominio; ovviamente scegliamo quella canonica e, di conseguenza, le componenti coincidono con l'immagine stessa (prova a verificarlo e se hai dubbi chiedi):
$[f(v_i)]_E=f(v_i), qquad v_i in \text{Dominio di } f$
Quindi la matrice associata è
$A=( ( 2 ,0 ,k+1 ),( 3 ,1 , -2 ),(0 , 2k , 3) ) $
Ora, considerato che un endomorfismo $f: V->V$ è
iniettivo $hArr$ è surgettivo
equivalentemente
$Ker(f)={bar(0)} hArr Im(f)=V hArr r(A)=dim(V)$
Cercare $F_k$ non iniettivo equivale a cercare $F_k$ non surgettivo: tale calcolo si risolve cercando i valori di $k in Isub RR$[nota]Il valore che andiamo a cercare deve essere cercato nell'intervallo o insieme di intervalli che garantiscono a $F_k$ l'esistenza![/nota] per cui il rango della matrice associato non è massimo
$k : qquad r( ( 2 ,0 ,k+1 ),( 3 ,1 , -2 ),(0 , 2k , 3) ) <3$
"Magma":
Sei sicuro?
Beh... si...
Facciamo un esempio semplice:
sia $ F:RR^3 rarr RR^3$ definita come
$F((0),(1),(1))=((5),(3),(2)); F((2),(0),(0))=((2),(2),(0));F((1),(1),(0))=((2),(1),(1))$
Si vuole calcolare la matrice associata rispetto alle basi canoniche.
Allora esprimo i vettori del dominio rispetto la base canonica:
$x((0),(1),(1))+y((2),(0),(0))+z((1),(1),(0))=((1),(0),(0))$
da cui $x0, y=1/2, z=0$ e quindi riscrivo le immagini:
$0((5),(3),(2))+1/2((2),(2),(0))+0((2),(1),(1))=((1),(1),(0))$
che è il primo vettore colonna della matrice associata. Allo stesso modo per gli altri vettori della base canonica, si ottiene la matrice associata:
$M=((1,1,4),(1,0,2),(0,1,2))$
Che mi risulta corretta...
Questo è il metodo che ho sempre usato io.
[ot]Per errore ho cancellato l'ultimo post. Un po' di pazienza e lo riscrivo 
[/ot]
EDIT: rettifico: non riscrivo perché avevo preso lucciole per lanterne.
[/ot]EDIT: rettifico: non riscrivo perché avevo preso lucciole per lanterne.
Scusami Magma, ma ho ancora bisogno della tua pazienza. Pensavo di averle capite ste cose e invece mi ritovo ancora con dei dubbi...
Rimanendo sempre sull'ultimo esempio, così come dici tu basterebbe scrivere la matrice associata prendendo i vettori immagine direttamente, cioè:
$ M=((5,2,3),(2,2,0),(2,1,1)) $
ma a me risulta corretta questa:
$ M=((1,1,4),(1,0,2),(0,1,2)) $
Rimanendo sempre sull'ultimo esempio, così come dici tu basterebbe scrivere la matrice associata prendendo i vettori immagine direttamente, cioè:
$ M=((5,2,3),(2,2,0),(2,1,1)) $
ma a me risulta corretta questa:
$ M=((1,1,4),(1,0,2),(0,1,2)) $
Perché ho preso un abbaglio. Ho applicato pedissequamente lo stesso ragionamento dell'altro esercizio (per questo è consigliabile postare un solo esercizio per topic ).
La matrice che ti risulta del secondo esercizio è giusta (credo, non ho verificato i calcoli).
Tuttavia, nel primo esercizio non ti è chiedesto di esplicitare $M_(E E)(F_k)$ pertanto possiamo evitare di fare calcoli superflui (che fanno anche perdere il filo logico di un ragionamento molte volte).
Veniamo a noi. Sappiamo che una matrice associata $M_(BA)(f)$ prende i vettori della base $mathcalA$, calcola le componenti delle immagini rispetto alla base $mathcalB$ e le dispone in colonna.
A meno che non diversamente specificato, possimo scegliere le basi che risultano più utili ed efficaci ai fini della risoluzione, ovvero quelle che evitano di fare troppi calcoli . Per cui a dominio prendiamo come base
mentre a codominio prendiamo la base canonica. Pertanto si avrà che
per cui
). La matrice che ti risulta del secondo esercizio è giusta (credo, non ho verificato i calcoli).
Tuttavia, nel primo esercizio non ti è chiedesto di esplicitare $M_(E E)(F_k)$ pertanto possiamo evitare di fare calcoli superflui (che fanno anche perdere il filo logico di un ragionamento molte volte).
Veniamo a noi. Sappiamo che una matrice associata $M_(BA)(f)$ prende i vettori della base $mathcalA$, calcola le componenti delle immagini rispetto alla base $mathcalB$ e le dispone in colonna.
A meno che non diversamente specificato, possimo scegliere le basi che risultano più utili ed efficaci ai fini della risoluzione, ovvero quelle che evitano di fare troppi calcoli
. Per cui a dominio prendiamo come base $mathcalA={((k+1),(-2),(-3)), ((0),(1),(k^2-1)), ((1),(0),(0))}$
mentre a codominio prendiamo la base canonica. Pertanto si avrà che
$[F_k((k+1),(-2),(-3))]_E=[((2),(3),(0))]_E=((2),(3),(0))$
per cui
$M_(BA)=((2,?,?),(3,?,?),(0,?,?))$
"Magma":
Veniamo a noi. Sappiamo che una matrice associata $M_(BA)(f)$ prende i vettori della base $mathcalA$, calcola le componenti delle immagini rispetto alla base $mathcalB$ e le dispone in colonna.
A meno che non diversamente specificato, possimo scegliere le basi che risultano più utili ed efficaci ai fini della risoluzione, ovvero quelle che evitano di fare troppi calcoli
Ecco! mi serviva proprio che qualcuno mi ribadisse questo concetto che avrei dovuto già aver assimilato, ma evidentemente non lo era ancora...
Grazie mille Magma!!!
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