Esistenza e determinazione di applicazioni lineari.

[Kashaman]

Primo quesito :
Dire se esiste $\phi : RR^4 -> RR^3$ lineare tale che $\phi$ è surgettiva e $Ker\phi = <(1,1,1,0)> (1)$

Se $\phi $ è suriettiva allora $dimIm\phi = 3 $ e se vale (1) allora $dimKer\phi=1$.
Dal teorema di dimensione si ha che $dimRR^3 = 4 = dimIm\phi + dimKer\phi = 3+1=4$. Il teorema di dimensione ci assicura che esiste almeno una $\phi$ sì fatta.
Fissata $B= { e_1, e_2, (1,1,1,0) , e_4}$ base di $RR^4$ e $B_c={E_1,E_2,E_3}$ base canonica di $RR^3$ , $EE | \phi : RR^4->RR^3$ tale che $\phi(e_1)=E_1 , \phi(e_2)=E_2 , \phi(e_4)=E_3 , \phi(1,1,1,0)=(0,0,0)$. Si verifica facilmente che per come definita $\phi$ soddisfa le ipotesi cercate. Infatti i vettori $\phi(e_i)$ sono linearmente indipendenti e la dimensione di $Imf$ risulta essere 3 e quella del nucleo 1 e per come definita f, il vettore $(1,1,1,0)$ genera il nucleo.Un'espressione di $\phi$ è data da $\phi(x,y,z,k)= ( x-7,y-z,0,k)$ . Noterei anche tale $\phi$ non è l'unica che soddisfa le richieste dell'esercizio.. ad esempio potrei considerare $\phi_1$ definita come segue $\phi_1(e_i)=E_j$ con $i!=j$ e $\phi_1(1,1,1,0)=(0,0,0)$

quesito 2 :
Dire se esiste $f : RR^3->RR^3$ lineare take che $f$ è iniettiva e $Imf=< (2,0,1) , (-1,0,0)>$

In questo caso non esiste perché se supposto per assurdo che esiste sifatta f si avrebbe che
$dimRR^3=3=dimKerf+dimImf=0+2=2 => 3=2$ , assurdo.

Vi sembrano buoni? Grazie mille.

[Riccardo Desimini]

"Kashaman":Dal teorema di dimensione si ha che $dimRR^3 = 4 = dimIm\phi + dimKer\phi = 3+1=4$.

Credo che tu volessi dire \( \text{dim}\, \mathbb{R}^4 = 4 \). Comunque ok.

"Kashaman":Il teorema di dimensione ci assicura che esiste almeno una $\phi$ sì fatta.
Fissata $B= { e_1, e_2, (1,1,1,0) , e_4}$ base di $RR^4$ e $B_c={E_1,E_2,E_3}$ base canonica di $RR^3$ , $EE | \phi : RR^4->RR^3$ tale che $\phi(e_1)=E_1 , \phi(e_2)=E_2 , \phi(e_4)=E_3 , \phi(1,1,1,0)=(0,0,0)$. Si verifica facilmente che per come definita $\phi$ soddisfa le ipotesi cercate. Infatti i vettori $\phi(e_i)$ sono linearmente indipendenti e la dimensione di $Imf$ risulta essere 3 e quella del nucleo 1 e per come definita f, il vettore $(1,1,1,0)$ genera il nucleo.Un'espressione di $\phi$ è data da $\phi(x,y,z,k)= ( x-7,y-z,0,k)$ . Noterei anche tale $\phi$ non è l'unica che soddisfa le richieste dell'esercizio.. ad esempio potrei considerare $\phi_1$ definita come segue $\phi_1(e_i)=E_j$ con $i!=j$ e $\phi_1(1,1,1,0)=(0,0,0)$

Qui presumo che tu intendessi \( \exists ! \) anziche \( \exists | \) e che volessi scrivere \( \phi\, (x, y, z, k) = (x - y, y - z, 0, k) \). Il resto pare ok.

"Kashaman":Dire se esiste $f : RR^3->RR^3$ lineare take che $f$ è iniettiva e $Imf=< (2,0,1) , (-1,0,0)>$
In questo caso non esiste perché se supposto per assurdo che esiste sifatta f si avrebbe che
$dimRR^3=3=dimKerf+dimImf=0+2=2 => 3=2$ , assurdo.

Sono d'accordo.