Esistenza di un'applicazione lineare
Dati i vettori $u_1 = (-1, 1, 1, 1)$ e $u_2 = (3, 1, 4, 2)$ $in R4$, siano $f1, f2 : R^4 -> R$ le funzioni
lineari de finite ponendo $f_1(v) = v *u_1$ e $f_2(v) = v *u_2$, per ogni $v in R^4$.
Si dica se esiste una funzione lineare $g : R -> R^4$ tale che entrambe le funzioni composte $f_1 @g$ e
$f_2 @g$ siano l'identita
Sia $ R^4 == <(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)>$
Allora
$ f_1(e_1) = -1$ e $ f_1(e_2) = f_1(e_3) =f_1(e_4)=1 $
$f_2(e_1) = 3$ e $ f_2(e_2) = 1, f_2(e_3) =4, f_2(e_4)=2 $
Quindi sia:
$ f_1(e_3) = 1$ allora deve essere $ g(1) = e_3 = (0,0,1,0)$
ma
$ f_2(e_2) = 1$ allora deve essere $ g(1) = e_2 = (0,1,0,0) != e_3 = (0,0,1,0)$
Quindi una tale $g$ non esiste.
Vorrei sapere se e' corretto
lineari de finite ponendo $f_1(v) = v *u_1$ e $f_2(v) = v *u_2$, per ogni $v in R^4$.
Si dica se esiste una funzione lineare $g : R -> R^4$ tale che entrambe le funzioni composte $f_1 @g$ e
$f_2 @g$ siano l'identita
Sia $ R^4 =
Allora
$ f_1(e_1) = -1$ e $ f_1(e_2) = f_1(e_3) =f_1(e_4)=1 $
$f_2(e_1) = 3$ e $ f_2(e_2) = 1, f_2(e_3) =4, f_2(e_4)=2 $
Quindi sia:
$ f_1(e_3) = 1$ allora deve essere $ g(1) = e_3 = (0,0,1,0)$
ma
$ f_2(e_2) = 1$ allora deve essere $ g(1) = e_2 = (0,1,0,0) != e_3 = (0,0,1,0)$
Quindi una tale $g$ non esiste.
Vorrei sapere se e' corretto
Risposte
Le mappe \(\displaystyle f_1 \), \(\displaystyle f_2 \) e \(\displaystyle g \) sono applicazioni lineari. Quindi \(\displaystyle g \) è univocamente determinato dall'immagine di \(\displaystyle 1 \). Sia \(\displaystyle \mathbf{v} = g(1)\). Allora si ha che \(\displaystyle g(\lambda) = \lambda g(1) = \lambda \mathbf{v} \).
Affinché \(\displaystyle f_1\circ g \) e \(\displaystyle f_2\circ g \) siano l'identità si deve avere \(\displaystyle f_1(g(1)) = 1 \) e \(\displaystyle f_2(g(1)) = 1 \), cioè \(\displaystyle \mathbf{v}\cdot \mathbf{u}_1 = \mathbf{v}\cdot \mathbf{u}_2 = 1 \).
In generale avremo quindi che \(\displaystyle \mathbf{v} = \mu \mathbf{u}_1 + \eta \mathbf{u}_2 + \mathbf{v}^{\perp} \) come \(\displaystyle \mathbf{v}^{\perp} \) ortogonale a \(\displaystyle \mathbf{u}_1 \) e \(\displaystyle \mathbf{u}_2 \).
Perciò \(\displaystyle 1 = \mathbf{v}\cdot \mathbf{u}_2 = \mu \mathbf{u}_1\cdot \mathbf{u}_2 + \eta \lVert \mathbf{u}_2 \rVert^2 \) e \(\displaystyle 1 = \mathbf{v}\cdot \mathbf{u}_1 = \mu \lVert \mathbf{u}_1 \rVert^2 + \eta \mathbf{u}_1\cdot \mathbf{u}_2 \).
\(\displaystyle \mathbf{u}_1\cdot \mathbf{u}_2 = -3 +1+4+2 = 4 \)
\(\displaystyle \lVert \mathbf{u}_1 \rVert^2 = 1 + 1 + 1+ 1 = 4 \)
\(\displaystyle \lVert \mathbf{u}_2 \rVert^2 = 9 + 1 + 16 + 4 = 30 \)
Perciò si possono trovare \(\displaystyle \mu \) e \(\displaystyle \eta \) dal sistema:
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 30 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \mu \\ \eta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix} \)
Il determinante della matrice è \(\displaystyle 120 - 16 = 104 \neq 0 \) e quindi \(\displaystyle \mu \) e \(\displaystyle \eta \) sono ben definiti e quindi, a meno di un vettore \(\displaystyle \mathbf{v}^{\perp} \) ortogonale ad entrambi, \(\displaystyle g \) esiste ed è ben definito.
Affinché \(\displaystyle f_1\circ g \) e \(\displaystyle f_2\circ g \) siano l'identità si deve avere \(\displaystyle f_1(g(1)) = 1 \) e \(\displaystyle f_2(g(1)) = 1 \), cioè \(\displaystyle \mathbf{v}\cdot \mathbf{u}_1 = \mathbf{v}\cdot \mathbf{u}_2 = 1 \).
In generale avremo quindi che \(\displaystyle \mathbf{v} = \mu \mathbf{u}_1 + \eta \mathbf{u}_2 + \mathbf{v}^{\perp} \) come \(\displaystyle \mathbf{v}^{\perp} \) ortogonale a \(\displaystyle \mathbf{u}_1 \) e \(\displaystyle \mathbf{u}_2 \).
Perciò \(\displaystyle 1 = \mathbf{v}\cdot \mathbf{u}_2 = \mu \mathbf{u}_1\cdot \mathbf{u}_2 + \eta \lVert \mathbf{u}_2 \rVert^2 \) e \(\displaystyle 1 = \mathbf{v}\cdot \mathbf{u}_1 = \mu \lVert \mathbf{u}_1 \rVert^2 + \eta \mathbf{u}_1\cdot \mathbf{u}_2 \).
\(\displaystyle \mathbf{u}_1\cdot \mathbf{u}_2 = -3 +1+4+2 = 4 \)
\(\displaystyle \lVert \mathbf{u}_1 \rVert^2 = 1 + 1 + 1+ 1 = 4 \)
\(\displaystyle \lVert \mathbf{u}_2 \rVert^2 = 9 + 1 + 16 + 4 = 30 \)
Perciò si possono trovare \(\displaystyle \mu \) e \(\displaystyle \eta \) dal sistema:
\(\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 30 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \mu \\ \eta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix} \)
Il determinante della matrice è \(\displaystyle 120 - 16 = 104 \neq 0 \) e quindi \(\displaystyle \mu \) e \(\displaystyle \eta \) sono ben definiti e quindi, a meno di un vettore \(\displaystyle \mathbf{v}^{\perp} \) ortogonale ad entrambi, \(\displaystyle g \) esiste ed è ben definito.
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