Esistenza di una proiettività

[pigrecoedition]

Ciao a tutti,
sto preparando l'esame di geometria 2 e mi sto esercitando sulle prove scritte. C'è questo quesito che non riesco a risolvere:
Sia $Q^+(7,q)$ la quadrica iperbolica di $PG(7,q)$ lo spazio proiettivo di dimensione sette sul campo di Galois $\mathbb{F}_q$ con $q$ elementi, $q$ dispari. Siano $Q_1=\pi_1 \cap Q^+(7,q)$ e $Q_2=\pi_2 \cap Q^+(7,q)$ due quadriche ellittiche $Q^{-}(5,q)$, dove $\dim \pi_1=\dim \pi_2=5$ e $\dim(\pi_1 \cap \pi_2)=3$. Provare che esiste una proiettività $\Phi: Q_1 \rightarrow Q_2$ tale che $\Phi(Q_1 \cap Q_2)=Q_1 \cap Q_2$.

[j18eos]

Io proverei a costruire una proiettività che fissa quei \(5\)-iperpiani...

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"j18eos":Io proverei a costruire una proiettività che fissa quei \(5\)-iperpiani...

Ho provato a costruire una proiettività di $PG(7,q)$ in sè che manda $\pi_1$ in $\pi_2$ e $\pi_2$ in $\pi_1$, dove ho fissato $\pi_1: x_0-x_7=x_6-\alphax_1=0$ e $\pi_2:x_2-x_5=x_4-\betax_3=0$ con $\alpha, \beta \ne 0$ non quadrati di $\mathbb{F}_q$ e $Q^+(7,q):x_0x_7+x_1x_6+x_2x_5+x_3x_4=0$. Il problema è che la proiettività non fissa la quadrica $Q^+(7,q)$.

[j18eos]

Ecco, due osservazioni:
[list=1]
[*:34uewyrj]non è chiesto di fissare la quadrica iperbolica;[/*:m:34uewyrj]
[*:34uewyrj]quali punti fondamentali vai a scambiare?[/*:m:34uewyrj][/list:o:34uewyrj]

[pigrecoedition]

La matrice \begin{pmatrix} 0 & 0 & \sqrt{\beta \alpha^{-1}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \beta \alpha^{-1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \sqrt{\beta \alpha^{-1}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \beta \alpha^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{\beta \alpha^{-1}} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{\beta \alpha^{-1}} & 0 & 0 \end{pmatrix} definisce una proiettività $\Phi: PG(7,q) \rightarrow PG(7,q)$ che manda $\pi_1 : x_0-x_7=x_6-\alpha x_1=0$ in $\pi_2: x_2-x_5=x_4-\beta x_3=0$ e $\pi_2$ in $\pi_1$, con $\alpha$, $\beta$ non quadrati di $\mathbb{F}_q$. Sia $Q^+(7,q): x_0x_7+x_1x_6+x_2x_5+x_3x_4=0$, allora $\Phi$ manda $Q_1:=\pi_1 \cap Q^+(7,q)$ in $Q_2:=\pi_2 \cap Q^+(7,q)$ e $\Phi(Q_1 \cap Q_2)=Q_1 \cap Q_2$.

Può andar bene come dimostrazione?

[j18eos]

Rapida obiezione: chi ti assicura che \(\mathbb{F}_q\) sia quadraticamente chiuso?

[pigrecoedition]

"j18eos":Rapida obiezione: chi ti assicura che \(\mathbb{F}_q\) sia quadraticamente chiuso?

Sto supponendo che $q$ sia dispari, quindi l'inverso di un non-quadrato è un non-quadrato e il prodotto di due non-quadrati è un quadrato.

[j18eos]

Può andare bene come soluzione, anche se non ho controllato i calcoli.

...ma resta sempre il fatto che hai scelto piani particolari: come risolvi?

[pigrecoedition]

"j18eos":Può andare bene come soluzione, anche se non ho controllato i calcoli.

...ma resta sempre il fatto che hai scelto piani particolari: come risolvi?

Allora siano $\pi_1^{\prime}, \pi_2^{\prime}$ due piani tali che $\pi_1^{\prime} \cap Q^+(7,q)$ e $\pi_2^{\prime} \cap Q^+(7,q)$ sono due quadriche ellittiche $Q^{-}(5,q)$. Considero $\Phi^{\prime}$ proiettività di $PG(7,q)$ tale che $\pi_1^{\prime} \mapsto \pi_2^{\prime}$,$\pi_2^{\prime} \mapsto \pi_1^{\prime}$ e fissa i punti che non appartegono a $\pi_1^{\prime} \cup \pi_2^{\prime}$. Allora basta prendere la proiettività $(\Phi^{\prime})^{-1} \circ \Phi \circ \Phi^{\prime}$.

[pigrecoedition]

si può dimostrare in generale l'esistenza di questa proiettività, cioè senza fissare i piani $\pi_1$ e $\pi_2$?