Esistenza di una base

[PippoGiocondo]

Buongiorno, preparando l'esame di algebra lineare sono incappato in questo esercizio e non riesco a risolverlo:
Verificare che i tre vettori (0,1,1) (1,1,0) (1,0,1) formano una base di R^3 e fin qua tutto bene.
Il problema sorge quando chiede se esiste una base B di R^3 rispetto alla quale le coordinate del vettore (1,0,0) sono (1,3,1).
Grazie in anticipo per la risposta

[anto_zoolander]

Ciao!

la soluzione veloce è; prendi $(1,0,0)=(1,-3+3,-1+1)=(1,-3,-1)+(0,3,1)$
$(0,3,1)$ lo puoi scrivere come $(0,3,1)=3(0,1,0)+1(0,0,1)$

quindi ottieni $(1,0,0)=1(1,-3,-1)+3(0,1,0)+1(0,0,1)$

soluzione generale; per il futuro è un'idea che puoi sempre usare

proviamo a ragionare così; se scriviamo $(1,0,0)=e_1+3e_2+e_3$ ponendo $e_i=[(e_(i,x)),(e_(i,y)),(e_(i,z))]$

$[(e_(1,x)),(e_(1,y)),(e_(1,z))]+3[(e_(2,x)),(e_(2,y)),(e_(2,z))]+[(e_(3,x)),(e_(3,y)),(e_(3,z))]=[(1),(0),(0)]$

che lo puoi scrivere equivalentemente come

$[(e_(1,x),e_(2,x),e_(3,z)),(e_(1,y),e_(2,y),e_(3,y)),(e_(1,z),e_(2,z),e_(3,z))]*[(1),(3),(1)]=[(1),(0),(0)]$

quindi il problema diventa di trovare una qualsiasi matrice invertibile per cui valga questa uguaglianza ma se chiamiamo $A$ la matrice, $v=(1,3,1)$ e $w=(1,0,0)$ dire $Av=w$ è equivalente al dire $v=A^(-1)w$

a questo punto ti puoi concentrare solo sulla matrice $A^(-1)=B$ generica e sai che deve valere $Bw=v$

ovvero

$[(a_1,a_2,a_3),(b_1,b_2,b_3),(c_1,c_2,c_3)]*[(1),(0),(0)]=[(1),(3),(1)]=> {(a_1=1),(b_1=3),(c_1=1):}$

a questo della matrice $[(1,a_2,a_3),(3,b_2,b_3),(1,c_2,c_3)]$ ti interessa soltanto che abbia determinante non nullo e quindi puoi semplicemente considerare

$A^(-1)=B=[(1,0,0),(3,1,0),(1,0,1)]$ che ha inversa $A=B^(-1)=[(1,0,0),(-3,1,0),(-1,0,1)]$

l'insieme ${(1,-3,-1),(0,1,0),(0,0,1)}$ è una base che ti da quella proprietà infatti

$(1,-3,-1)+3(0,1,0)+1(0,0,1)=(1,-3+3,-1+1)=(1,0,0)$