Esistenza di basi
Salve a tutti,
sono di nuovo qui con dubbi sulle definizioni Ahah
Più ripasso e più me ne sorgono.
Sempre legati al concetto di base: una base viene definita come
Dato uno spazio vettoriale $V$ su un campo $K$ si dice che l'insieme ${v_1,..,v_n}$ è una base se:
- ${v_1,...,v_n}$ sono dei generatori di $V$
- ${v_1,...,v_n}$ sono linearmente indipendenti
Il mio dubbio è: non tutti gli spazi vettoriale hanno una base (esempio è lo spazio $RR[t]$, cioè l'insieme dei polinomi nella variabile $t$) quindi prima di poter dare la definizione di base si deve chiarire che quel determinato spazio abbia un insieme di generatori finito.
Nel dare la definizione di base devo quindi aggiungere "Dato un spazio vettoriale $V$ che ammette un sistema finito di generatori..." o è la mia aggiunta è superflua?
Grazie delle risposte!
sono di nuovo qui con dubbi sulle definizioni Ahah
Più ripasso e più me ne sorgono.
Sempre legati al concetto di base: una base viene definita come
Dato uno spazio vettoriale $V$ su un campo $K$ si dice che l'insieme ${v_1,..,v_n}$ è una base se:
- ${v_1,...,v_n}$ sono dei generatori di $V$
- ${v_1,...,v_n}$ sono linearmente indipendenti
Il mio dubbio è: non tutti gli spazi vettoriale hanno una base (esempio è lo spazio $RR[t]$, cioè l'insieme dei polinomi nella variabile $t$) quindi prima di poter dare la definizione di base si deve chiarire che quel determinato spazio abbia un insieme di generatori finito.
Nel dare la definizione di base devo quindi aggiungere "Dato un spazio vettoriale $V$ che ammette un sistema finito di generatori..." o è la mia aggiunta è superflua?
Grazie delle risposte!
Risposte
Una base di $RR[t]$ è quella (infinita) seguente $\{t^n\ :\ n\in NN\}$. Qui è ovvio che stai parlando di spazi di dimensione finita, ma in generale il concetto di base si estende anche a spazi vettoriali di dimensione infinita.
Ah ok, perfetto, grazie!
@Edex,
nella tua definizione tu prendi esattamente \( n \in \mathbb{N} \) vettori..
Saluti
"Edex":
Salve a tutti,
sono di nuovo qui con dubbi sulle definizioni Ahah
Più ripasso e più me ne sorgono.
Sempre legati al concetto di base: una base viene definita come
Dato uno spazio vettoriale $V$ su un campo $K$ si dice che l'insieme ${v_1,..,v_n}$ è una base se:
- ${v_1,...,v_n}$ sono dei generatori di $V$
- ${v_1,...,v_n}$ sono linearmente indipendenti
Il mio dubbio è: non tutti gli spazi vettoriale hanno una base (esempio è lo spazio $RR[t]$, cioè l'insieme dei polinomi nella variabile $t$) quindi prima di poter dare la definizione di base si deve chiarire che quel determinato spazio abbia un insieme di generatori finito.
Nel dare la definizione di base devo quindi aggiungere "Dato un spazio vettoriale $V$ che ammette un sistema finito di generatori..." o è la mia aggiunta è superflua?
Grazie delle risposte!
nella tua definizione tu prendi esattamente \( n \in \mathbb{N} \) vettori..
Saluti
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