Esistenza di Base tale che...

[Kashaman]

Salve ragazzi, ho questo esercizio :
Sia $f : RR^4 -> RR^4$ l'endomorfismo associato alla matrice
$A=((1,0,2,0),(0,-1,-1,3),(0,0,3,-4),(0,0,2,-3))$ rispetto alla base canonica di $RR^4$.
1) f è diagonalizzabile?
2) tenendo conto di 1 , mostrare che non esiste $B$ di $RR^4$ tale che
$B=T^B(f)=((1,0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,1,2),(0,0,1,1))$
1)
Allora, per il primo punto non penso di aver avuto problemi.
Calcolando $P_f(\lambda)=(\lambda+1)^2(\lambda-1)^2$ trovo che $f$ ha esattamente due autovalori distinti
$\lambda_1=1$ con molteplicità algebrica 2
$\lambda_2=-1$ con molteplicità algebrica 2.
Determinando $dimV_{-1} = dim(ker(f+id))=4-rg(A+I_4)$ ottengo che $rg(A+I_4)=3$ e che quindi $dimV_{-1}=4-3=1!=m(-1)=2 =>$ questo mi basta per dire che $f$ non è diagonalizzabile!
2) Per il due non capisco in che modo possa utilizzare 1)!
Tuttavia ho pensato di risolverlo al seguente modo.
Supponiamo per assurdo che $EE C $ base di$RR^4$ tale che $B$ rappresenta $f$ rispetto a $C$.
Allora sappiamo dalla teoria che $A$ e $B$ sono matrici simili. Essendo simili, hanno stesso determinante, stesso rango e stessa traccia.
Tuttavia si nota che $tr(A)=0$ mentre $tr(B)=2$ e quindi $tr(A)=tr(B) => 0=2$ assurdo.
Pertanto $A$ e $B$ non sono simili, quindi non rappresentano lo stesso endomorfismo. Ne segue che non esiste una base $C$ suddetta.

GRazie mille.

[Plepp]

Giusto, bella idea