Esistenza della base canonica
Ciao a tutti,
sto cercando di capire se esistono degli spazi vettoriali di dimensione finita in cui non sia possibile parlare di base canonica.
Alcuni esempi di spazi in cui ciò è possibile sono \( \mathbb{R}^n \), \( \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{K}) \) (matrici \( m \times n \) su un campo \( \mathbb{K} \)) e \( \mathbb{K}[X]_{n} \) (polinomi di grado \( \le n \) a coefficienti in un campo \( \mathbb{K} \)).
Guardando questi esempi mi è venuto il dubbio: è vero o no che ogni spazio vettoriale di dimensione finita ammette base canonica?
Qualcuno mi sa dire qualcosa a riguardo?
sto cercando di capire se esistono degli spazi vettoriali di dimensione finita in cui non sia possibile parlare di base canonica.
Alcuni esempi di spazi in cui ciò è possibile sono \( \mathbb{R}^n \), \( \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{K}) \) (matrici \( m \times n \) su un campo \( \mathbb{K} \)) e \( \mathbb{K}[X]_{n} \) (polinomi di grado \( \le n \) a coefficienti in un campo \( \mathbb{K} \)).
Guardando questi esempi mi è venuto il dubbio: è vero o no che ogni spazio vettoriale di dimensione finita ammette base canonica?
Qualcuno mi sa dire qualcosa a riguardo?
Risposte
Dato uno spazio vettoriale di dimensione $n$ è sempre possibile determinare un isomorfismo "canonico" tra esso e $K^n$ (il campo su cui prendi i coefficienti). La base canonica su $V$ risulta, in sostanza, la contro immagine tramite l'isomorfismo della base canonica di $K^n$.
Prova a dimostrare l'esistenza di tale isomorfismo (non è difficile) e, per certi versi, è legato ad alcuni semplici fatti riguardo gli omomorfismi di spazi vettoriali.
Prova a dimostrare l'esistenza di tale isomorfismo (non è difficile) e, per certi versi, è legato ad alcuni semplici fatti riguardo gli omomorfismi di spazi vettoriali.
Io risponderei così, ma non so se è corretto:
Sia W lo spazio su cui ci poniamo la domanda " ha sempre base canonica?"; sia W sottospazio di V (eventualmente $V = W$).
Sia K il campo su cui è definito lo spazio vettoriale V.
Consideriamo $V$. La sua base canonica (per convenzione) è la base che ha nell'elemento di posizione $i$ l'elemento neutro di K e nelle altre posizioni lo $0$ di K, con $i = 0, ..., dim V$. I vettori della base canonica sono, quindi, tanti quanti la dimensione di V.
Perciò:
1) se V = W, è sempre possibile esprimere una base canonica
2) se dim W < dim V non si può parlare di base canonica (es.: $W = <(1, 1, 0), (0, 0, 1)>$: più "canonica" di così non può essere, e non è canonica)
Lo spazio delle matrici rettangolari $n x m, n < m$ potrebbe essere considerato sottospazio di quello delle matrici $m x m$, con alcune colonne nulle? (quindi si rientrerebbe nel caso 2).
Sia W lo spazio su cui ci poniamo la domanda " ha sempre base canonica?"; sia W sottospazio di V (eventualmente $V = W$).
Sia K il campo su cui è definito lo spazio vettoriale V.
Consideriamo $V$. La sua base canonica (per convenzione) è la base che ha nell'elemento di posizione $i$ l'elemento neutro di K e nelle altre posizioni lo $0$ di K, con $i = 0, ..., dim V$. I vettori della base canonica sono, quindi, tanti quanti la dimensione di V.
Perciò:
1) se V = W, è sempre possibile esprimere una base canonica
2) se dim W < dim V non si può parlare di base canonica (es.: $W = <(1, 1, 0), (0, 0, 1)>$: più "canonica" di così non può essere, e non è canonica)
"Riccardo Desimini":.
Alcuni esempi di spazi in cui ciò è possibile sono Rn, Mm,n(K) (matrici m×n su un campo K) e K[X]n (polinomi di grado ≤n a coefficienti in un campo K).
Lo spazio delle matrici rettangolari $n x m, n < m$ potrebbe essere considerato sottospazio di quello delle matrici $m x m$, con alcune colonne nulle? (quindi si rientrerebbe nel caso 2).
"Riccardo Desimini":
sto cercando di capire se esistono degli spazi vettoriali di dimensione finita in cui non sia possibile parlare di base canonica.
"Canonico" non è un concetto che può essere rigorosamente definito in matematica. Molte volte quando ci si appella a qualcosa di "canonico" in realtà ci si sta appellando al "buon senso" (come in questo caso) od alla tradizione o al risultato più spesso utilizzato in un dato contesto (come nel caso della topologia euclidea talvolta detta "topologia canonica" in tutti i posti in cui è definita). Tuttavia, come direbbe un mio professore "la base canonica di \(\mathbb{K}^n\) non ha niente di più bello di qualsiasi altra base ortonormale". Non per niente qualsiasi altra base ortonormale può essere opportunamente ricondotta a quella "canonica" senza perdere veramente niente. È una cosa ancora più forte di un isomorfismo in realtà, si tratta solo di un cambio di scala e poco altro. Ci abituano a pensare agli spazi vettoriali in termini di coordinate perché è l'approccio didatticamente più semplice, ma uno spazio vettoriale vive benissimo (e per certi versi anche meglio) anche prima che venga fissata una base. Fissare una base in uno spazio vettoriale rompe in qualche senso una simmetria che lo spazio aveva prima che venisse effettuata quest'operazione. Il professore di cui sopra una volta disse che fissando una base in uno spazio vettoriale in qualche modo "si fa violenza allo spazio", ed è verissimo, uno spazio vettoriale è prima di tutto una struttura algebrica con delle belle proprietà, il poter fissare una base è una conseguenza di queste proprietà, ma non è qualcosa di in qualche modo "connaturato" allo spazio, infatti si tratta di un'operazione che si svolge in maniera del tutto arbitraria. L'affermazione dell'esistenza di una base "canonica" è in realtà solo l'affermazione dell'esistenza di una base "comoda" o "ovvia", concetti utili nella pratica ma che in matematica non trovano un corrispettivo.
Aggiungo, incidentalmente, che questo discorso non vale per il concetto di "naturale", che può essere formulato in maniera rigorosa passando per la teoria delle categorie. Per dire, è possibile scrivere in maniera formale e del tutto rigorosa l'enunciato "esiste un isomorfismo naturale tra uno spazio vettoriale ed il suo biduale" così com'è possibile farlo per "non esiste un isomorfismo naturale tra uno spazio vettoriale ed il suo duale", ma non è possibile scrivere in maniera formale l'enunciato "\(\mathbb{K}^n\) possiede una base canonica" o "\(\{\cdots\}\) è la base canonica di \(\mathbb{K}^n\)".
"Riccardo Desimini":
Guardando questi esempi mi è venuto il dubbio: è vero o no che ogni spazio vettoriale di dimensione finita ammette base canonica?
La risposta è "neanche per sogno"
Prendiamo \(h \subseteq k\) estensione di campi, allora \(k\) è uno spazio vettoriale su \(h\) con il prodotto scalare \(h \times k \to k\) dato dal prodotto \((\lambda,\mu) \mapsto \lambda \mu\). Questo è vero per ogni coppia campo-sottocampo (e ti invito a dimostrarlo) e son più i casi in cui una base "canonica" non esiste che quelli in cui esiste. Prendiamo \(\mathbb{F}_{27}\) spazio vettoriale su \(\mathbb{F}_{3}\) o \(\displaystyle \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q}(e^{i \frac{2}{7} \pi})\) che è un'estensione di grado \(6\) su \(\mathbb{Q}\), ovvero \(\mathbb{Q}(e^{i \frac{2}{7} \pi})\) è uno spazio vettoriale di dimensione \(6\) su \(\mathbb{Q}\) (tanto per fare degli esempi concreti). A mio avviso nel prio caso non è possibile esibire una base che sia "più bella/comoda/facile/ovvia delle altre", nel secondo forse ce n'è una più ovvia (e neanche troppo), ma è comunque incredibilmente scomoda, brutta e difficile da maneggiare. C'è da dire che essendo bellezza, comodità, facilità e ovvietà concetti soggettivi se cerchiamo di portare il discorso fino in fondo non ne usciamo, eppure, operando un po' di "buon senso" spero di aver risposto ugualmente alla domanda 
"ciampax":
Dato uno spazio vettoriale di dimensione $n$ è sempre possibile determinare un isomorfismo "canonico" tra esso e $K^n$ (il campo su cui prendi i coefficienti). La base canonica su $V$ risulta, in sostanza, la contro immagine tramite l'isomorfismo della base canonica di $K^n$.
Prova a dimostrare l'esistenza di tale isomorfismo (non è difficile) e, per certi versi, è legato ad alcuni semplici fatti riguardo gli omomorfismi di spazi vettoriali.
oddio... direi che il fatto che esistano tali isomorfismi è un qualcosa di facile da dimostrare, l'esistenza di quello canonico la vedo piuttosto dura dal momento che la scelta del "primo" \(v \in V\) da associare a \((1,0, \ldots, 0) \in \mathbb{K}^n\) è completamente arbitraria (va bene uno qualunque fra tutti gli elementi di \(V\)).
"ciampax":
Dato uno spazio vettoriale di dimensione n è sempre possibile determinare un isomorfismo "canonico" tra esso e Kn
Qui ci si riferisce in particolare a uno spazio ($V$) della stessa dimensione di $K^n$ (cioè n), ma può essere considerato spazio anche un sottospazio di V con dimensione minore, giusto?
@Epimenide: gli esempi che hai fatto esulano dal livello di "Geometria 1", oppure sono "scritture difficili" di oggetti che potrei conoscere?
"jitter":
@Epimenide: gli esempi che hai fatto esulano dal livello di "Geometria 1", oppure sono "scritture difficili" di oggetti che potrei conoscere?
Esulano abbastanza, sono cose che io ho studiato nel corso di Algebra 2. Probabilmente conosci \(\mathbb{F}_{27}\) ed \(\mathbb{F}_{3}\) son due belle bestiole che amano vestirsi da pecore e farsi chiamare \(\mathbb{Z}/27 \mathbb{Z}\) (talvolta impropriamente scritto come \(\mathbb{Z}_{27}\)) e \(\mathbb{Z}/3 \mathbb{Z}\) (talvolta impropriamente scritto come \(\mathbb{Z}_{3}\)). Il fatto è che non sono semplicemente dei gruppi o degli anelli qualunque, ma sono dei campi, e quando si vuol porre l'accento su questa cosa si usa indicarli come ho fatto. \(\mathbb{Q}(e^{i \frac{2}{7} \pi})\) è il più piccolo campo che contiene i razionali ed una (e quindi tutte) radice settima complessa dell'unità diversa da \(1\) ed è raro vederlo pascolare al di fuori dei corsi di algebra.
Quell'animale che hai citato $Q(e^(i \pi 2/7))$ non l'ho ancora incontrato! però a questo punto mi viene in mente semplicemente $C$. Come spazio vettoriale, è $<(1,0),(0,i)>$, se non sbaglio, che non si può scrivere in forma "canonica".
perciò questo era sbagliato, forse vale solo quando il campo è R.
"jitter":
Consideriamo $ V $. La sua base canonica (per convenzione) è la base che ha nell'elemento di posizione $ i $ l'elemento neutro di K e nelle altre posizioni lo $ 0 $ di K, con $ i = 0, ..., dim V $. I vettori della base canonica sono, quindi, tanti quanti la dimensione di V.
Perciò:
1) se V = W, è sempre possibile esprimere una base canonica
2) se dim W < dim V non si può parlare di base canonica (es.: $ W = <(1, 1, 0), (0, 0, 1)> $: più "canonica" di così non può
perciò questo era sbagliato, forse vale solo quando il campo è R.
"Epimenide93":
Probabilmente conosci \(\mathbb{F}_{27}\) ed \(\mathbb{F}_{3}\) son due belle bestiole che amano vestirsi da pecore e farsi chiamare \(\mathbb{Z}/27 \mathbb{Z}\) (talvolta impropriamente scritto come \(\mathbb{Z}_{27}\)) e \(\mathbb{Z}/3 \mathbb{Z}\) (talvolta impropriamente scritto come \(\mathbb{Z}_{3}\)). Il fatto è che non sono semplicemente dei gruppi o degli anelli qualunque, ma sono dei campi, e quando si vuol porre l'accento su questa cosa si usa indicarli come ho fatto.
Può capitare di incontrare \(\displaystyle \mathbf{F}_{p^n} \), \(\displaystyle \mathbb{F}_{p^n} \), \(\displaystyle \mathbf{GF}(p^n) \) e immagino altre. L'uso di queste notazione dipende dal fatto che c'è un unico campo di quella dimensione. In sostanza quelle notazioni si riferiscono alla classe di isomorfismo di cui \(\displaystyle (\mathbb{Z}_{p}, +, \cdot) \) è un elemento. Usare \(\mathbb{Z}_{p^n}\) al posto di \(\displaystyle \mathbf{F}_{p^n} \) è un po' come usare \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) per indicare uno spazio vettoriale di dimensione \(\displaystyle V \). Insomma assolutamente innocuo. Ritengo comunque che, a meno che \(\displaystyle \mathbf{F}_{p^n} \) sia il centro del tuo discorso, tanto valga non aggiungere una nuova notazione per indicare qualcosa che già conosci.
"jitter":
Come spazio vettoriale, è $<(1,0),(0,i)>$, se non sbaglio, che non si può scrivere in forma "canonica".
Non esattamente, se vuoi vedere \(\mathbb{C}\) come \(\mathbb{R}\)-spazio vettoriale, allora si identifica con \(\mathbb{R}^2\) (in prima componente la parte reale, in seconda quella immaginaria) che ha una base "canonica" (in questo caso probabilmente si potrebbero anche togliere le virgolette, perché la base di uno spazio generico non sarà canonica, ma l'identificazione in questione sì se teniamo conto che \(\mathbb{C} = \mathbb{R}[x]/(x^2 +1)\)). Quello che tu scrivi come \((0,i)\) è in realtà \((0,1)\), il punto è che con questa identificazione scrivi proprio \(1 := (1,0)\) e \(i := (0,1)\). Da questo punto di vista \(\mathbb{C}\) è diverso da \(\mathbb{R}^2\) per il solo fatto che sul primo è definito un prodotto che sul secondo manca. Ovvero le due strutture sono diverse, ma come spazi vettoriali sono indistinguibili (queste cose possono sembrare sottigliezze, ma col passare del tempo le si colgono meglio e vien fuori anche la loro rilevanza). Io preferisco l'identificazione di \(\mathbb{C}\) come sottospazio di \(\mathcal{M}(2,\mathbb{R})\)
\[ \mathbb{C} = \left \langle \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \right \rangle \]
almeno non devo scervellarmi per ricordarmi com'è definito il prodotto (nell'identificazione con \(\mathbb{R}^2\) non lo ricordo mai e ogni volta me lo devo ricavare).
"jitter":
[quote="jitter"] Consideriamo $ V $. La sua base canonica (per convenzione) è la base che ha nell'elemento di posizione $ i $ l'elemento neutro di K e nelle altre posizioni lo $ 0 $ di K, con $ i = 0, ..., dim V $. I vettori della base canonica sono, quindi, tanti quanti la dimensione di V.
Perciò:
1) se V = W, è sempre possibile esprimere una base canonica
2) se dim W < dim V non si può parlare di base canonica (es.: $ W = <(1, 1, 0), (0, 0, 1)> $: più "canonica" di così non può
perciò questo era sbagliato, forse vale solo quando il campo è R.[/quote]
No, non è del tutto sbagliato, solo che niente mi impedisce di porre \((1,0)_W := (1,1,0)_V\) e \((0,1)_W = (0,0,1)_V\) e qualcuno lo considererebbe canonico. Secondo me non è meno canonico di \((1,0)_W := (\pi,\pi,0)_V\) e \((0,1)_W = (0,0,\pi)_V\), per dire, ma tant'è...
Il concetto di base canonica è basato su una ‘sovrastruttura’. Cioè hai uno spazio vettoriale \(\displaystyle V \) di dimensione \(\displaystyle n \) e un isomorfismo lineare \(\displaystyle f\colon\mathbf{R}^n\to V \). La mappa canonica di \(\displaystyle V \) è l'immagine della base canonica di \(\displaystyle \mathbf{R}^n \) tramite \(\displaystyle f \).
Il discorso è quindi equivalente a chiedersi se per ogni spazio vettoriale finito \(\displaystyle V \) esiste un isomorfismo con un \(\displaystyle \mathbf{R}^n \) e questo lo si trova dimostrato su ogni libro di algebra lineare.
Il discorso è quindi equivalente a chiedersi se per ogni spazio vettoriale finito \(\displaystyle V \) esiste un isomorfismo con un \(\displaystyle \mathbf{R}^n \) e questo lo si trova dimostrato su ogni libro di algebra lineare.
@vict85 [ot]Se sostituisci ovunque \(\mathbb{Z}/p^q \mathbb{Z}\) a \(\mathbb{Z}_{p^q}\) sono d'accordo con te al 100%. \(\mathbb{Z}_p\) è una notazione ambigua perché si usa per i numeri \(p\)-adici, e in quel contesto ci si trova fra i piedi contemporaneamente sia \(\mathbb{Z}_p\) che \(\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}\); ok che in contesti elementari i numeri \(p\)-adici non si trovano, ma proprio perché le notazioni sono sovrabbondanti (\(\mathbb{Z}/ \langle p \rangle\), \(\mathbb{Z}/ ( p )\)...) dal mio punto di vista sarebbe anche il caso di smettere di usare \(\mathbb{Z}_p\) (e cerco di essere coerente con questa cosa e di propagandarla quando possibile 
).[/ot]
Riporto l'esempio di \(\mathbb{F}_{27}\) su \(\mathbb{F}_3\), non capisco il punto. Certo che ne esiste uno (isomorfismo), il problema è che ne esistono molti e nel caso reale infiniti, l'idea di una base canonica si porta dietro l'idea di un isomorfismo canonico, e come dicevo la scelta del primo \(v \in V\) da associare a \((1,0,\ldots , 0)\) è totalmente arbitraria. Fissato un isomorfismo grazie tante, è ovvio che c'è una base canonica.
Se non sei d'accordo col fatto che la scelta di una base canonica si porta dietro quella dell'isomorfismo canonico spiegami perché la base canonica dei polinomi di grado al più \(d\) è la base dei monomi.
il fatto che non sia questa la cosa che sto mettendo in discussione dovrebbe essere evidente dall'esempio che ho fatto a jitter sul sottospazio di dimensione due in uno di dimensione tre. Lì c'è anche l'idea del perché non c'è niente di canonico (l'esempio coi \(\pi\)).
).[/ot]Riporto l'esempio di \(\mathbb{F}_{27}\) su \(\mathbb{F}_3\), non capisco il punto. Certo che ne esiste uno (isomorfismo), il problema è che ne esistono molti e nel caso reale infiniti, l'idea di una base canonica si porta dietro l'idea di un isomorfismo canonico, e come dicevo la scelta del primo \(v \in V\) da associare a \((1,0,\ldots , 0)\) è totalmente arbitraria. Fissato un isomorfismo grazie tante, è ovvio che c'è una base canonica.
Se non sei d'accordo col fatto che la scelta di una base canonica si porta dietro quella dell'isomorfismo canonico spiegami perché la base canonica dei polinomi di grado al più \(d\) è la base dei monomi.
"vict85":
Cioè hai uno spazio vettoriale \(\displaystyle V \) di dimensione \(\displaystyle n \) e un isomorfismo lineare \(\displaystyle f\colon\mathbf{R}^n\to V \). La mappa canonica di \(\displaystyle V \) è l'immagine della base canonica di \(\displaystyle \mathbf{R}^n \) tramite \(\displaystyle f \).
il fatto che non sia questa la cosa che sto mettendo in discussione dovrebbe essere evidente dall'esempio che ho fatto a jitter sul sottospazio di dimensione due in uno di dimensione tre. Lì c'è anche l'idea del perché non c'è niente di canonico (l'esempio coi \(\pi\)).
Grazie a tutti per le risposte!
Ma $ \mathbb{Z} //n \mathbb{Z} $ non è un campo se e solo se n è primo (e non una potenza di un primo)?
"_fabricius_":
Ma $ \mathbb{Z} //n \mathbb{Z} $ non è un campo se e solo se n è primo (e non una potenza di un primo)?
Certo! \(\mathbb{F}_{p^q}\) per \(p\) primo e \(q \geq 1\) è il campo di spezzamento di \(x^{p^q}-x\) su \(\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}\) e ovviamente per \(q \geq 2 \) non è \(\mathbb{Z} / p^q \mathbb{Z}\). Grazie per la correzione, preso dalla foga ho scritto un'idiozia.
"Epimenide93":
[quote="_fabricius_"]Ma $ \mathbb{Z} //n \mathbb{Z} $ non è un campo se e solo se n è primo (e non una potenza di un primo)?
Certo! \(\mathbb{F}_{p^q}\) per \(p\) primo e \(q \geq 1\) è il campo di spezzamento di \(x^{p^q}-x\) su \(\mathbb{Z} / p \mathbb{Z}\) e ovviamente per \(q \geq 2 \) non è \(\mathbb{Z} / p^q \mathbb{Z}\). Grazie per la correzione, preso dalla foga ho scritto un'idiozia.[/quote]Avete assolutamente ragione. \(p^n\mathbf{Z}< p\mathbf{Z} <\mathbf{Z}\) non è certo un ideale massimale.
@ Epidemide93
[ot]Comunque questi ambiti hanno tantissime notazioni diverse, a volte discordanti, a seconda dell'ambito di ricerca dell'autore (non che a me ultimamente sia capitato molto di incontrarle, sto esplorando altri settori).
Il mio secondo messaggio non era una risposta a te, ma in generale.[/ot]
[ot]
Tutto chiaro
[/ot]
"vict85":
Comunque questi ambiti hanno tantissime notazioni diverse, a volte discordanti, a seconda dell'ambito di ricerca dell'autore (non che a me ultimamente sia capitato molto di incontrarle, sto esplorando altri settori).
Il mio secondo messaggio non era una risposta a te, ma in generale.
Tutto chiaro
[/ot]
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