Esiste un vettore non nullo per la forma quadratica?
Ciao a tutti, a breve ho l’esame di algebra lineare e mi stanno venendo un po’ di dubbi! Per esempio, non riesco a svolgere questo esercizio, qualcuno sarebbe così gentile da aiutarmi per favore?
Si consideri la matrice A=(2,2,0,0; 2,2,0,0; 0,0,3,1; 0,0,1,3) (li ho messi in riga). Sia inoltre X= x,y,z,t appartenente a R^3
Il punto che non riesco a risolvere è questo: “esiste un vettore non nullo X tale che q(x)=0? In caso affermativo si determini X, in caso negativo si spieghi il perché.”
Io ho calcolato la forma quadrata e mi viene q= 4(y’)^2 + 4(z’)^2 + 2 (t’)^2 poi però non so come continuare..
la soluzione è X=1, -1, 0, 0
Si consideri la matrice A=(2,2,0,0; 2,2,0,0; 0,0,3,1; 0,0,1,3) (li ho messi in riga). Sia inoltre X= x,y,z,t appartenente a R^3
Il punto che non riesco a risolvere è questo: “esiste un vettore non nullo X tale che q(x)=0? In caso affermativo si determini X, in caso negativo si spieghi il perché.”
Io ho calcolato la forma quadrata e mi viene q= 4(y’)^2 + 4(z’)^2 + 2 (t’)^2 poi però non so come continuare..
la soluzione è X=1, -1, 0, 0
Risposte
Primo: si dice "forma quadratica", non "quadrata".
Secondo: hai sbagliato a calcolare l'espressione della forma, perché l'hai diagonalizzata (cioè l'hai espressa in una base fatta da autovettori e non rispetto alla base canonica).
La matrice è:
$A = ((2,2,0,0), (2,2,0,0), (0,0,3,1), (0,0,1,3))$
ed i vettori $mathbf(x) = (x,y,z,t)$ tali che $Q(mathbf(x)) := mathbf(x) A mathbf(x)^T = 0$ sono tutti e soli i vettori tali che $A mathbf(x)^T = mathbf(0) $.
Dunque ti basta risolvere un sistema lineare omogeneo.
Secondo: hai sbagliato a calcolare l'espressione della forma, perché l'hai diagonalizzata (cioè l'hai espressa in una base fatta da autovettori e non rispetto alla base canonica).
La matrice è:
$A = ((2,2,0,0), (2,2,0,0), (0,0,3,1), (0,0,1,3))$
ed i vettori $mathbf(x) = (x,y,z,t)$ tali che $Q(mathbf(x)) := mathbf(x) A mathbf(x)^T = 0$ sono tutti e soli i vettori tali che $A mathbf(x)^T = mathbf(0) $.
Dunque ti basta risolvere un sistema lineare omogeneo.
Grazie mille! In effetti era molto semplice
Scusami se ti ridisturbo, ma ciò che mi hai consigliato di fare per quella matrice, lo posso fare anche per le forme quadratiche indefinite?
Perché per esempio, con questa matrice non mi viene.. Ti riporto il testo e la consegna del tema d’esame: matrice:
$((-1,-2,0,0),(-2,-1,0,0),(0,0,-2,-1),(0,0,-1,-2))$
sia $Q:R^4 -> R$ la forma quadratica, esiste un vettore non nullo $X$ tale che $q(X)=0$? Il vettore non nullo dovrebbe venire $(1,-1,1,-1)$ invece non viene
Perché per esempio, con questa matrice non mi viene.. Ti riporto il testo e la consegna del tema d’esame: matrice:
$((-1,-2,0,0),(-2,-1,0,0),(0,0,-2,-1),(0,0,-1,-2))$
sia $Q:R^4 -> R$ la forma quadratica, esiste un vettore non nullo $X$ tale che $q(X)=0$? Il vettore non nullo dovrebbe venire $(1,-1,1,-1)$ invece non viene
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