Eserizio su matrici diagonalizzabili

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Mostrare che se la matrice $A$ soddisfa la relazione $A^2-5A+6=0$ allora è diagonalizzabile.
Mi sono riscritto la relazione in questo modo: $(A-2I)(A-3I)=0$ per cui un vettore x è autovettore relativo a 3 oppure $(A-3I)x$ è autovettore relativo a 2.
Partendo da questa considerazione come posso scrivermi un vettore generico come somma di autovettori?

[miuemia]

fai moooolta attenzione... l'anello delle matrici non è assolutamente integro...quindi non puoi dire che se $BC=0$ allora o $B$ o $C$ sono entrambi nulli.

[Zkeggia]

Imponendo che x sia autovettore per 3. Deve soddisfare la relazione:

$(A-3I)(A-2I)x = 0$
quindi $(A - 2I)x$ deve appartenere al nucleo di $A-3I$, quindi essere autovettore per 3.
Quindi L'immagine di $A-2I$ coincide con il nucleo di $A-3I$, quindi $dim ker (A-2I) + dim ker (A-3I) = dim Ker (A-2I) + dim Im (A-3I) = V$
In pratica ho dimostrato che la somma delle dimensioni delle molteplicità geometriche è V, ora però dobbiamo dimostrare che molteplicità geometrica ed algebrica coincidono.
Sappiamo solo che la moltepicità geometrica è minore o uguale alla molteplicità algebrica, ma che ovviamente la somma delle due molteplicità algebriche non può essere maggiore della dimensione n dello spazio vettoriale V.
Chiamo $ma_2$la molteplicità algebrica di 2, e $mg_2$ quella geometrica, rispettivamente $ma_3$ e $mg_3$ per 3.
So sicuramente che la molteplicità geometrica è minore di quella algebrica, ma che ovviamente la somma delle molteplicità algebriche non può eccedere la dimensione dello spazio vettoriale.
Quindi posso scrivere:
$mg_2 + mg_3 = n -> ma_2 + mg_3 = n -> ma_2 = n-mg_3 -> ma_2 = mg_2$
Stessa cosa per $ma_3$
Quindi A è diagonalizzabile.

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miuemia non ho assolutamente detto questo.