Esericizio sullo studio di una diagonalizzazione.

[AlbertEinstein91]

Salve,
Mi sto esrcitando per un esame di algebra e geometria che dovrò fare a breve.L'esercizio mi dice:

Dato l'endomorfismo:
$ f(e1)=te1+e2 f(e2)=2e1+(t+1)e2 f(e3)=-e1-e2+e3$

Studiare la diagonalizzabilità al variare di t e nel caso di t=-2 determinare autovalori e autospazi.

Per il primo punto ho proceduto cosi:
Scrivo la matrice del polinomio caratteristico,mi faccio il determinante,esce una equazione di secondo grado e pongo il delta =0 in modo che mi trovo i valori di t per la quale esistono due soluzione reali e coincidenti,cioè i due autovalori.Ora è finito qui il primo punto oppure devo fare altro? me lo chiedo poichè mi sono trovato come valori di t=2 e t=-2 e poichè il secondo punto mi dice di trovare tali autovalori e autospazi per t=-2 era come ripetere due volte lo stesso punto.

[^Tipper^1]

Per il primo punto: per i valori di $t$ (se esistono) per i quali trovi che i due autovalori sono doppi, hai studiato la $dimV_t$?

[AlbertEinstein91]

Con $dimV_t$ intendi la dim dell'autospazio giusto? Dovrei sostituire i due valori di t nel polinomio caratteristico e studiarmi la dimensione del ker,che sarebbe la molteplicità geometrica?

[^Tipper^1]

Sì, la dimensione dell'autospazio. Per ogni $t$ autovalore, $dimV_t=$ molteplcità algebrica.

Per capirsi: se la dimensione dell'ambiente è $2$, e trovi che per $a=2$, $t=1$ è doppio, devi studiare $dimV_1$.