Esericizio sui piani e le distanze

[Aletzunny1]

Trovare le equazioni dei piani che distano $2/sqrt(6)$ dal punto $P(1,1,1)$ e contenenti la retta $r$ di equazione ${x-y-1=0;y+z-1=0}$

ho ragionato in questo modo:

fascio di piani per r:
$a*(x-y-1)+b*(y+z-1)=0$

$ax+y(b-a)+bz-a-b=0$

sostituendo nella formula della distanza tra punto $P$ e il piano ottenuto sopra trovo:

$(2/sqrt(6))=|b-a|/(sqrt(a^2+(b-a)^2+b^2))$

e risolvendo il sistema

${|b-a|=2; 3=a^2+b^2-ab}$

trovo un solo piano, cioè

$pi: -x+2y+z=0$

tuttavia non capisco davvero dove stia sbagliando.
Grazie

[anto_zoolander]

ma hai uguagliato numeratore a numeratore e denominatore a denominatore?

[Aletzunny1]

"anto_zoolander":ma hai uguagliato numeratore a numeratore e denominatore a denominatore?

Si. Ho fatto una grande cavolata?

[Aletzunny1]

"anto_zoolander":ma hai uguagliato numeratore a numeratore e denominatore a denominatore?

Perchè avevo inizialmente provato a risolverle
$2*sqrt(2a^2+2b^2-2ab)=sqrt(6)*|b-a|$

Però poi non ero sicuro si potesse quadrare per via di $a$ e $b$ nella radice...
Infatti quadrando verrebbe ancora
$(a+b)^2=0$ e quindi $a=-b$ da cui ritornerei a trovare il piano precedente

[Bokonon]

Ma il piano che passa per l'origine che hai trovato, non ti piace?
Contiene la retta e dista esattamente $2/sqrt(6)$

[Aletzunny1]

"Bokonon":Ma il piano che passa per l'origine che hai trovato, non ti piace?
Contiene la retta e dista esattamente $2/sqrt(6)$

Piacermi mi piace ahah...tuttavia vedendo che ci sono voluti pochi passaggi e la richiesta era "i piani" mi è venuto il dubbio