Esercizo su omeomorfismo:disco
X= palla chiusa di centro 0 e raggio 1 in R2
Y=X\([0,1]x{0}) (cioè X meno il raggio orizzontale per intenderci).
Y è omeomorfo a {(x,y) in R2|y \geq 0}??
Y=X\([0,1]x{0}) (cioè X meno il raggio orizzontale per intenderci).
Y è omeomorfo a {(x,y) in R2|y \geq 0}??
Risposte
se intendi ${(x,y) in RR^2 | y>=0}$ no, perché è connesso, mentre il disco senza il diametro orizzontale è sconnesso)
Sì, ma il problema è che non devo togliere l'intero diametro(che sarebbe [-1,1]x{0}}) ma solo il raggio [0,1]x{0}
La risposta è "sì perché si vede", ma mettersi a scrivere la funzione esplicitamente è un po' un bordeaux. L'idea è che sai mandare la circonferenza meno un punto nell'asse x, per esempio via la proiezione stereografica, che poi estendi mandando tutta la semiretta dal punto che hai tolto al punto su S1 in una retta verticale nel semipiano.
Diamo due nomi e lo spiego meglio: sia D il disco, togliergli un raggio ammonta a togliere un segmento, ovvero a privare $\partial D$ di un punto. Ora sai mandare un cerchio meno un punto in una retta, via proj stereografica. Questa funzione dovrebbe permetterti di essere estesa ad una da tutto il disco meno il raggio, diciamo D', al semipiano, diciamo S. Ora questa $\psi : D' \to S$ si ottiene dalla giunzione di due omeomorfismi, ed è perciò un omeomorfismo.
Diamo due nomi e lo spiego meglio: sia D il disco, togliergli un raggio ammonta a togliere un segmento, ovvero a privare $\partial D$ di un punto. Ora sai mandare un cerchio meno un punto in una retta, via proj stereografica. Questa funzione dovrebbe permetterti di essere estesa ad una da tutto il disco meno il raggio, diciamo D', al semipiano, diciamo S. Ora questa $\psi : D' \to S$ si ottiene dalla giunzione di due omeomorfismi, ed è perciò un omeomorfismo.
Grazie.
A lezione avevamo provato che D privato del raggio è omeomorfo a \(\mathbb{R} x \mathbb{R}\) >0 . Ciò vuol dire che \(\mathbb{R} x \mathbb{R}\) >0 è omeomorfo a (\mathbb{R} x \mathbb{R}\)>=0 ?
A lezione avevamo provato che D privato del raggio è omeomorfo a \(\mathbb{R} x \mathbb{R}\) >0 . Ciò vuol dire che \(\mathbb{R} x \mathbb{R}\) >0 è omeomorfo a (\mathbb{R} x \mathbb{R}\)>=0 ?
"Chiara91":
Sì, ma il problema è che non devo togliere l'intero diametro(che sarebbe [-1,1]x{0}}) ma solo il raggio [0,1]x{0}
ah già! scusami, avevo capito male
se il disco fosse aperto allora i due spazi sarebbero omeomorfi: prima puoi estendere ${y>o}$ (semipiano superiore) a tutto $RR^2 \\ ([0,+oo)xx{0})$ prendendo un punto del semipiano e ruotandolo in verso antiorario di un angolo pari alla sua anomalia: tutto questo si esprime in maniera succinta se vediamo $RR^2$ come $CC$. Infatti se prendiamo $z in CC$ con $Im(z) > 0$ (cioè nel semipiano superiore), per raddoppiargli l'anomalia possiamo moltiplicarlo per sé stesso. Questo ha però l'effetto di elevare al quadrato il suo modulo, quindi dividiamo per $|z|$ e abbiamo ottenuto l'effetto di ruotare $z$ di un angolo pari alla sua anomalia (cioè, di raddoppiargli l'anomalia) e lasciarlo sulla stessa circonferenza per l'origine (cioè di non cambiare il modulo). Così $f(z)=z^2/|z|$ è omeomorfismo tra ${y>0}$ e $B(0,1)\\([0,1)xx{0})$ (che è bigettiva e con inversa continua si vede facilmente)
Ora, come probabilmente già saprai, $RR^2$ e omeomorfo alla palla aperta di centro 0 e raggio 1, e questo si ottiene schiacciando ogni punto del piano sulla palla, scalandolo opportunamente. Cioè ogni punto deve essere scalato in modo da avere norma minore di 1
Una tale trasformazione è $f(x)=x/sqrt(1+||x||^2)$ (verifica che per ogni $x$, $f(x)$ ha norma minore di 1 e che per $||x|| -> oo$ si ha $||f(x)|| -> 1$)
Se questa la restringi a $RR^2 \\ ([0,+oo)xx{0})$ ottieni un omeomorfismo con $B(0,1)\\([0, 1)xx{0})$
killing_buddha, ne sei proprio sicuro che se il disco è chiuso sono omeomorfi? lo spazio $Y=B[0,1]\\([0,1]xx{0})$ (B[0,1] è la palla chiusa di centro 0 e raggio 1) contiene un sottospazio omeomorfo a $[0,1]$ il cui complementare è sconnesso:
[jxg]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[/jxg]
(il segmento che congiunge C e D)
Ora, lo spazio $X={y>0}$ è banalmente omeomorfo a $RR^2$ (es. $f(x,y)=(x,e^y)$). Quindi anche $RR^2$ dovrebbe contenere un'immersione di $[0,1]$ che sconnette. Ma ciò è impossibile: il Dugundji dà il seguente teorema, come corollario al teorema di Borsuk:
"Sia $X$ spazio compatto. Allora "$X$ sconnette $RR^n$" è un invariante proposizionale)"
(cioè o ogni immersione di $X$ in $RR^n$ sconnette, o nessuna di queste sconnette)
A noi interessa il caso n=2 e $X=[0,1]$. Del resto che $RR^2$ meno un'immersione di [0,1] rimanga connesso è una cosa alquanto intuitiva
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(il segmento che congiunge C e D)
Ora, lo spazio $X={y>0}$ è banalmente omeomorfo a $RR^2$ (es. $f(x,y)=(x,e^y)$). Quindi anche $RR^2$ dovrebbe contenere un'immersione di $[0,1]$ che sconnette. Ma ciò è impossibile: il Dugundji dà il seguente teorema, come corollario al teorema di Borsuk:
"Sia $X$ spazio compatto. Allora "$X$ sconnette $RR^n$" è un invariante proposizionale)"
(cioè o ogni immersione di $X$ in $RR^n$ sconnette, o nessuna di queste sconnette)
A noi interessa il caso n=2 e $X=[0,1]$. Del resto che $RR^2$ meno un'immersione di [0,1] rimanga connesso è una cosa alquanto intuitiva
ecco, un'argomentazione più comune: il gruppo fondamentale. ${y>0}$ e la palla chiusa meno il raggio non possono essere omeomorfi, perché se a ${y>0}$ tolgo un punto come $P=(0,1)$ non creo un buco, mentre in ${y>0}$ qualsiasi punto venga tolto si crea un buco! Questo risponde anche all'altra domanda di Chiara, anche se non sono sicuro di avere capito bene: $RR^2>0$ sarebbe ${(x,y) in RR^2 | x>0 , y>0}$? (e quindi $RR^2>=0={(x,y) in RR^2 | x>=0 , y>=0}$?) Se è così allora non possono essere omeomorfi, perché togliendo un punto opportuno al secondo spazio (per esempio l'origine) non si crea alcun buco, mentre nel primo spazio qualsiasi punto venga tolto si viene a creare un buco.
killing_buddha,scsua ma non rileggendo c'è qualcosa che non mi è chiaro nel tuo ragionamento.Sono d'accordo sul fatto che togliendo un punto un punto al bordo del disco,questo diventa omeomorfo all'asse x ,ma successivamente come estendi questo omeomorfismo all'interno del disco \ il raggio,cioè come fai a costruire un'estensione di quell'omeomorfismo che mandi l'interno del disco privato del segmento(0,1)x{0} al semipiano {y>0}?Non so se sono stata chiara(sono alle prime aarmi con la topologia e credo si sia capito!:D)
Questa e' l'immagine piu' chara che sono riuscito a disegnare: al disco manca il segmento $ON$ di estremi inclusi. Con delle notazioni che trovo comprensibili, il fascio di rette di centro N = (0,1) identifica uno e un solo punto su $S^1\setminus N$, e adesso il segmento $(N,P]$ si puo' mandare via proiezione stereografica nella semiretta $[Q,+\infty[$, dove $Q=\varphi(P)$, $\varphi$ essendo la proj stereografica. La semiretta $(O,S]$, se $S$ e' il punto di intersezione tra l'asse x e la circonferenza, va nella semiretta $[S,+\infty[$.
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