Esercizo di topologia
Sia X lo spazio topologico, il cui insieme sostegno è la retta e la famiglia di aperti è costituita dall'insieme vuoto, da $RR$ e da tutti gli intervalli di centro 0 e ampiezza $<= 2$
1.Stabilire se X è di Hausdorff
2.Stabilire se X è compatto
3.Stabilire se X è connesso
4.Dimostrare che l'applicazione $f:X->X$ data da $f(x)=3x$ è biunivoca e continua, ma non è un omeomorfismo
Stabilire se la successione di punti $x_n=(-1)^n n$ ammette limite
1.Se non sbaglio gli aperti sono del tipo $[-a,a]$ con $ain[0,1]$.Lo spazio non è un Hausdorff perchè presi due punti $X-[-1,1]$ l'unico aperto che li contiene è $RR$ stesso dunque non esistono per $x$ e $y$ aperti disgiunti.
2.Lo spazio è compatto perchè l'unico ricoprimento dello spazio mediante aperti è $RR$ stesso.
3.Lo spazio è connesso perchè non esistono aperti non vuoti e disgiunti che ricoprono X.
4.L'applicazione è sicuramente biunivoca, inoltre è continua perchè la controimmagine di un aperto è un aperto infatti $f^-1([-a,a])=[-a/3,a/3]$, questo è sempre un aperto che di centro $0$ e raggio minore uguale di $1$.Rimane da osservare che f non è un applicazione aperta cioè che non manda aperti in aperti, infatti $f([-1,1])=[-3,3]$ che non è un aperto della topologia $T_x$.
5.Non saprei come si fa...
1.Stabilire se X è di Hausdorff
2.Stabilire se X è compatto
3.Stabilire se X è connesso
4.Dimostrare che l'applicazione $f:X->X$ data da $f(x)=3x$ è biunivoca e continua, ma non è un omeomorfismo
Stabilire se la successione di punti $x_n=(-1)^n n$ ammette limite
1.Se non sbaglio gli aperti sono del tipo $[-a,a]$ con $ain[0,1]$.Lo spazio non è un Hausdorff perchè presi due punti $X-[-1,1]$ l'unico aperto che li contiene è $RR$ stesso dunque non esistono per $x$ e $y$ aperti disgiunti.
2.Lo spazio è compatto perchè l'unico ricoprimento dello spazio mediante aperti è $RR$ stesso.
3.Lo spazio è connesso perchè non esistono aperti non vuoti e disgiunti che ricoprono X.
4.L'applicazione è sicuramente biunivoca, inoltre è continua perchè la controimmagine di un aperto è un aperto infatti $f^-1([-a,a])=[-a/3,a/3]$, questo è sempre un aperto che di centro $0$ e raggio minore uguale di $1$.Rimane da osservare che f non è un applicazione aperta cioè che non manda aperti in aperti, infatti $f([-1,1])=[-3,3]$ che non è un aperto della topologia $T_x$.
5.Non saprei come si fa...
Risposte
Per il 5 puoi notare che tutti i suoi termini sono sempre e solo contenuti nell'aperto $RR$ e quindi converge a tutti i punti tali che $|x| > 1$.
e gli altri punti $|x|<=1$??
Le risposte alle altre domande vanno bene?
Le risposte alle altre domande vanno bene?
1. corretto
2. corretto
3. corretto
4. corretto
5. usi la definizione di limite e per ogni elemento $>=1$ ha un solo intorno ($RR$) e quell'intorno contiene tutti i punti della successione. Per l'unicità del limite è necessario che lo spazio sia di Hausdorff...
P.S: Mari ti presento mi fratello Antonio...
2. corretto
3. corretto
4. corretto
5. usi la definizione di limite e per ogni elemento $>=1$ ha un solo intorno ($RR$) e quell'intorno contiene tutti i punti della successione. Per l'unicità del limite è necessario che lo spazio sia di Hausdorff...
P.S: Mari ti presento mi fratello Antonio...
Lo so che è lui 
lo riconosciuto dal cognome;) Ok mi interessano solo quelli per $n$ grande per questo non mi devo proccupare di cosa accade per i primi termini?
lo riconosciuto dal cognome;) Ok mi interessano solo quelli per $n$ grande per questo non mi devo proccupare di cosa accade per i primi termini?
Una successione $(a_n)_{n \in NN}$ converge ad un punto $x$ se per ogni intorno $U_x$ di $x$ esiste un numero $N(U_x)$ tale che $a_m \in U_x$ per ogni $m > N(U_x)$. Ovviamente questo non vale per qualsiasi numero con valore assoluto minore di 1 ma per tutti gli altri numeri l'unico intorno è $RR$ e quindi la successione converge per questi valori.
pk grazie.
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