Esercizio:Matrice Associata alla Derivazione
Salve,studiando le matrici associate alle applicazioni lineari mi sono travato davanti a un esercizio,che non so se ho risolto correttamente;se non vi reca disturbo,potreste aiutarmi?
L'esercizio è questo:
"Sia $V$ lo spazio vettoriale sul corpo $K$,generato dalle funzioni ${f(t),g(t)}$,che sono una base di $V$.Qual è la matrice associata all'applicazione lineare,definita dalla derivazione su questo spazio;sapendo che $f'$ e$g'$ appartengono a $V$?"
Io per risolverlo ho provato a fare così:
\( D(h(t),l(t))=e_1f(t)h'(t)+e_2g(t)l'(t) \) (dove $e_1$ e $e_2$ sono delle basi ortogonali,di modulo $1$)
e la matrice associata allora è:
\( A=\begin{pmatrix} f(t)h'(t) & 0 \\ 0 & g(t)l'(t) \end{pmatrix} \)
Secondo voi ho sbagliato(io penso di sì)?
Se sì,qualcuno,potrebbe aiutarmi a capire come avrei dovuto fare,per favore?
L'esercizio è questo:
"Sia $V$ lo spazio vettoriale sul corpo $K$,generato dalle funzioni ${f(t),g(t)}$,che sono una base di $V$.Qual è la matrice associata all'applicazione lineare,definita dalla derivazione su questo spazio;sapendo che $f'$ e$g'$ appartengono a $V$?"
Io per risolverlo ho provato a fare così:
\( D(h(t),l(t))=e_1f(t)h'(t)+e_2g(t)l'(t) \) (dove $e_1$ e $e_2$ sono delle basi ortogonali,di modulo $1$)
e la matrice associata allora è:
\( A=\begin{pmatrix} f(t)h'(t) & 0 \\ 0 & g(t)l'(t) \end{pmatrix} \)
Secondo voi ho sbagliato(io penso di sì)?
Se sì,qualcuno,potrebbe aiutarmi a capire come avrei dovuto fare,per favore?
Risposte
L'esercizio è mal posto. Con le ipotesi date, la derivata di f o di g non ha obbligo di appartenere a V
Cosa che accade se ad esempio $f$ è costante e $g$ è $\sin t$: la derivata di $\sin t$ è $\cos t$ e non vi è speranza di scrivere $\cos t = a \sin t + b$ per opportune costanti $a,b\in\mathbb R$.
giusto,mi ero dimenticato di riportare quelle condizioni,perché le ipotesi che riguardano $f$ e $g$ vengono date nell'esercizio precedente.A parte questa ipotesi,le altre mi sembra di averle date.Quindi,modificando il testo,includendo quell'ultima condizione,qualcuno,potrebbe spiegarmi cosa dovrei fare;per favore?
E vabbé, ma quali sarebbero queste ipotesi? Qual è "quell'ultima condizione"? Rileggiti, per favore: secondo te, si capisce qualcosa di quello che hai chiesto?
effettivamente...
Allora,aggiusto un attimo il post iniziale.
Allora,aggiusto un attimo il post iniziale.
Questo esercizio secondo me lo hai inventato (male).
La condizione che lo spazio vettoriale sia su $K$ impone che $f'(t)=af(t)+bg(t)$ per $a,b$ costanti. Questa è una condizione forte su $f$ (e una del tutto analoga vale per $g$).
Questo sistema di equazioni differenziali ammette come soluzione la funzione \(t\mapsto e^{A}\left( \begin{smallmatrix}f\\g\end{smallmatrix}\right)\). Calcolarla non è affatto semplice, in generale.
La condizione che lo spazio vettoriale sia su $K$ impone che $f'(t)=af(t)+bg(t)$ per $a,b$ costanti. Questa è una condizione forte su $f$ (e una del tutto analoga vale per $g$).
Questo sistema di equazioni differenziali ammette come soluzione la funzione \(t\mapsto e^{A}\left( \begin{smallmatrix}f\\g\end{smallmatrix}\right)\). Calcolarla non è affatto semplice, in generale.
Beh,in realtà l'esercizio è una generalizzazione(riuscita male) di quello del libro;dove la base di $V$ è ${sin(t),cos(t)}$.
Sì, ti è riuscito malissimo. 
Per quelle funzioni è vero; per altre, no (e anzi, se è vero per $f,g$, puoi dimostrare che allora esse non sono molto diverse da $\sin$ e $\cos$).
Per quelle funzioni è vero; per altre, no (e anzi, se è vero per $f,g$, puoi dimostrare che allora esse non sono molto diverse da $\sin$ e $\cos$).
Una cosa del genere non sembra facile da dimostrare,anche se ci proverò(l'unica cosa che mi viene in mente è la risoluzione del sistema di equazioni differenziali,ma non sembra la scelta migliore,da quel che mi è parso di capire).
Anche se,dato che l'esercizio successivo assume come base ${e^(a*t),e^(b*t)}$;non so fino a che punto le funzioni possano "differire" da $sin$ e $cos$.
Anche se,dato che l'esercizio successivo assume come base ${e^(a*t),e^(b*t)}$;non so fino a che punto le funzioni possano "differire" da $sin$ e $cos$.
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