Esercizio: vettori, sistema di generatori, basi
Salve a tutti, vorrei qualche dritta su come svolgere questo esercizio
Nello spazio vettoriale $R4$ si considerino i vettori:
$\vec u1$ = $(1,0,-1,3)$
$\vec u2$ = $(0,1,0,-1)$
$\vec u3$ = $(1,1,-1,2)$
$\vec u4$ = $(2,1,0,1)$
$\vec u5$ = $(0,0,0,1)$
$\vec u6$ = $(-1,0,1,1)$
a) Stabilire che generano $R4$
b) Determinare una base di $R4$ con il metodo degli scarti successivi
Ecco, per quanto riguarda il punto a, so che i vettori generano lo spazio se ognuno di essi è combinazione lineare degli altri, giusto?
Quindi considerando degli scalari $a$ , $b$, $c$ , $d$ , $e$ , ho scritto:
$\vec u1$ = $a$$\vec u2$ + $b$$\vec u3$ + $c$$\vec u4$ + $d$$\vec u5$ + $e$$\vec u6$
ho moltiplicato ciascun vettore per uno scalare e ho risolto il sistema, che, avendo 4 equazioni e 5 incognite, ho risolto ponendo $e=k$ (trasformando cioè l'incognita in parametro)
in questo modo ho trovato dei valori tutti dipendenti dal parametro per i quali il primo vettore è combinazione lineare degli altri.
E' giusto procedere in questo modo? Devo applicarlo a tutti gli altri i vettori?
Quanto al punto b, devo verificare la lineare indipendenza di quattro dei vettori $\vec u1$ , $\vec u2$ , $\vec u3$ , $\vec u4$ , $\vec u5$ , $\vec u6$ ?
Ho già verificato che i primi due sono tra di loro linearmente indipendenti.
Ora mi tocca verificare che il terzo è indipendente dai primi due, giusto?
Come mi conviene procedere? Sempre moltiplicando il vettore per gli scalari e poi assicurarmi che essi siano nulli, o costruire la matrice che ha per colonne i tre vettori e controllare se il rango coincide con il numero delle incognite?
Vi ringrazio anticipatamente
Nello spazio vettoriale $R4$ si considerino i vettori:
$\vec u1$ = $(1,0,-1,3)$
$\vec u2$ = $(0,1,0,-1)$
$\vec u3$ = $(1,1,-1,2)$
$\vec u4$ = $(2,1,0,1)$
$\vec u5$ = $(0,0,0,1)$
$\vec u6$ = $(-1,0,1,1)$
a) Stabilire che generano $R4$
b) Determinare una base di $R4$ con il metodo degli scarti successivi
Ecco, per quanto riguarda il punto a, so che i vettori generano lo spazio se ognuno di essi è combinazione lineare degli altri, giusto?
Quindi considerando degli scalari $a$ , $b$, $c$ , $d$ , $e$ , ho scritto:
$\vec u1$ = $a$$\vec u2$ + $b$$\vec u3$ + $c$$\vec u4$ + $d$$\vec u5$ + $e$$\vec u6$
ho moltiplicato ciascun vettore per uno scalare e ho risolto il sistema, che, avendo 4 equazioni e 5 incognite, ho risolto ponendo $e=k$ (trasformando cioè l'incognita in parametro)
in questo modo ho trovato dei valori tutti dipendenti dal parametro per i quali il primo vettore è combinazione lineare degli altri.
E' giusto procedere in questo modo? Devo applicarlo a tutti gli altri i vettori?
Quanto al punto b, devo verificare la lineare indipendenza di quattro dei vettori $\vec u1$ , $\vec u2$ , $\vec u3$ , $\vec u4$ , $\vec u5$ , $\vec u6$ ?
Ho già verificato che i primi due sono tra di loro linearmente indipendenti.
Ora mi tocca verificare che il terzo è indipendente dai primi due, giusto?
Come mi conviene procedere? Sempre moltiplicando il vettore per gli scalari e poi assicurarmi che essi siano nulli, o costruire la matrice che ha per colonne i tre vettori e controllare se il rango coincide con il numero delle incognite?
Vi ringrazio anticipatamente
Risposte
Per quanto riguarda questa metodologia di esercizi di solito si scrive una matrice dei vettori in cui le coordinate dei vettori stesse vengono posto in verticale (o meglio è così che svolgo questi esercizi io):
nel tuo caso non serve verificare uno ad uno che i vettori siano linearmente dipendenti o indipendenti:
scrivi i vettori di cui devi studiare la dipendenza in colonna in una matrice e calcola il rango della matrice: poicheè il rango della matrice eguaglia il valore minore fra il numero massimo di righe linearmenti indipendenti e il numero massimo di colonne linearmente indipendenti puoi interpretara il rango della matrice come il numero di vettori linearmente indipendenti fra loro che deve essere 4: ti consiglio di ridurre la matrice dei coefficienti a scala in tal modo i vettori che si trovano sulla stessa colonna dei pivots corrispondono ai vettori linearmente indipendenti che devi prendere, spero di essere stato abbastanza chiaro!
nel tuo caso non serve verificare uno ad uno che i vettori siano linearmente dipendenti o indipendenti:
scrivi i vettori di cui devi studiare la dipendenza in colonna in una matrice e calcola il rango della matrice: poicheè il rango della matrice eguaglia il valore minore fra il numero massimo di righe linearmenti indipendenti e il numero massimo di colonne linearmente indipendenti puoi interpretara il rango della matrice come il numero di vettori linearmente indipendenti fra loro che deve essere 4: ti consiglio di ridurre la matrice dei coefficienti a scala in tal modo i vettori che si trovano sulla stessa colonna dei pivots corrispondono ai vettori linearmente indipendenti che devi prendere, spero di essere stato abbastanza chiaro!
ti consiglio di ridurre la matrice dei coefficienti a scala in tal modo i vettori che si trovano sulla stessa colonna dei pivots corrispondono ai vettori linearmente indipendenti che devi prendere
sinceramente questo non mi è molto chiaro
d'altronde, questa cosa che mi hai appena detto serve a risolvere il secondo punto, no?
una volta che ho trovato il rango di questa matrice posso assicurarmi che i vettori che la compongono sono linearmente indipendenti e determinano una base, giusto?
Si serve a risolvere il ppunto numero 2;
cercherò di essere più chiaro:
nel tuo caso tu hai 6 vettori: scrivi una matrice associata ponendo i verticale le coordinate dei vettori che hai scelto.
$((1,0,1,2,0,-1),(0,1,1,1,0,0),(-1,0,-1,0,0,1),(3,-1,2,1,1,1))$
adesso io ridurrei a scala la matrice secondo il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan e io per esempio ho ottenuto: (ti consiglio di controllare di nuovo xD):
$((1,0,1,2,0,-1),(0,1,1,1,0,0),(0,0,0,-4,1,4),(0,0,0,0,1/2,2))$
osserva le colonne relative ai pivota che dovrebbero essere (salvo errori) le colonne: 1,2,4,5. ciò implica che i vettori $u_1,u_2,u_4,u_5$ sono linearmente indipendenti e costituiscono quindi una base di $RR^4$
cercherò di essere più chiaro:
nel tuo caso tu hai 6 vettori: scrivi una matrice associata ponendo i verticale le coordinate dei vettori che hai scelto.
$((1,0,1,2,0,-1),(0,1,1,1,0,0),(-1,0,-1,0,0,1),(3,-1,2,1,1,1))$
adesso io ridurrei a scala la matrice secondo il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan e io per esempio ho ottenuto: (ti consiglio di controllare di nuovo xD):
$((1,0,1,2,0,-1),(0,1,1,1,0,0),(0,0,0,-4,1,4),(0,0,0,0,1/2,2))$
osserva le colonne relative ai pivota che dovrebbero essere (salvo errori) le colonne: 1,2,4,5. ciò implica che i vettori $u_1,u_2,u_4,u_5$ sono linearmente indipendenti e costituiscono quindi una base di $RR^4$
Può sembrarti assurdo (anche per me lo è) ma il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan non l'abbiamo mai fatto.
Se i quattro vettori che hai detto sono tra loro linearmente indipendenti, allora dovrebbero costituire una base?
Però l'esercizio diceva chiaramente di ricorrere al metodo degli scarti successivi, per questo io avevo chiesto se mi toccava verificare la lineare dipendenza vettore per vettore.
Quanto al punto a) invece? Per vedere se generano $R4$ , mi tocca farlo sempre con la matrice?
Se i quattro vettori che hai detto sono tra loro linearmente indipendenti, allora dovrebbero costituire una base?
Però l'esercizio diceva chiaramente di ricorrere al metodo degli scarti successivi, per questo io avevo chiesto se mi toccava verificare la lineare dipendenza vettore per vettore.
Quanto al punto a) invece? Per vedere se generano $R4$ , mi tocca farlo sempre con la matrice?
Beh se trovi 4 vettori linearmente indipendenti sicuramente costituiscono una base di $RR^4$ c'è una proposizione che afferma che fissata la dimensione di uno spazio vettoriale $V$ con $dim(V)=n$ se trovi $n$ vettori linearmente indipendenti allora questi costituiscono una base di $V$;
P.S. forse voi determinate il rango di una matice utilizzando il teorema di Kronecker? in quel caso dovresti calcolare i determinanti degli orlati ma avendo una matrice bella grande trovo più sbrigativo il metodo di eliminazione che ti consiglio di studiarti da solo perché è estremamente interessante (o meglio questo è la mia opinione!)
P.P.S. scusa per il ritardo nella risposta spero possa esserti comunque ancora utile
P.S. forse voi determinate il rango di una matice utilizzando il teorema di Kronecker? in quel caso dovresti calcolare i determinanti degli orlati ma avendo una matrice bella grande trovo più sbrigativo il metodo di eliminazione che ti consiglio di studiarti da solo perché è estremamente interessante (o meglio questo è la mia opinione!)
P.P.S. scusa per il ritardo nella risposta spero possa esserti comunque ancora utile
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo