Esercizio vettori

[Simone9124]

trovare tutti i vettori ortoginali a u (1,1,1)

io ho pensato di moltiplicare un vettore generico v (a,b,c) imponendo il prodotto scalare uguale a zero
(1,1,1,)*(a,b,c)=0 --->(a,b,c)=0
poi come posso andare avanti?

[Simone9124]

"TeM":Sì, l'idea è corretta. Però, come dice il nome, da un prodotto scalare deve uscire uno scalare, non
un vettore (altrimenti si parlerebbe di prodotto vettoriale). Ciò detto, sapresti correggere il tiro?

dovrei cercare in qualche modo di isolare le incognite tipo c=-a-b e posso riscrivere v(a,b,-a-b)=....
non saprei andare avanti...

[vict85]

È evidente che la condizione di ortogonalità rispetto al vettore \(\displaystyle \mathbf{u} = (1,1,1)\) consiste nell'insieme \(\displaystyle \{\mathbf{b}\in V : \mathbf{b}\cdot \mathbf{u} = 0\} \). Alternativamente, puoi vedere quell'insieme come l'insieme \(\displaystyle \ker f \) dove \(\displaystyle f\colon V\to \mathbb{R} \) è definita come \(\displaystyle \mathbf{b}\mapsto \mathbf{b}\cdot \mathbf{u} \).

Scritto in componenti si ha che \(\displaystyle (a,b,c)\mapsto (a,b,c)\cdot \mathbf{u} = a + b + c \). Il resto lo lascio a te.

[Simone9124]

potreste dirmi le parti di teoria che devo riguardare per rispondere?non ho capito come proseguire

[vict85]

@TeM: secondo me hai frainteso Simone9124 e probabilmente lo stai confondendo. Secondo me ha in testa la cosa corretta ma la sta scrivendo in modo confusionario.

@Simone9124: Io ti ho semplicemente riscritto quello che hai detto tu in modo più formale, quindi se hai capito ciò che stavi tentando di fare dovresti capire anche quello che ho scritto io.

Detto questo, come ti ho già scritto, si ha che \((a,b,c)\cdot (1,1,1) = a + b + c\). Devi quindi avere \(a+b+c = 0\).

Ora, è evidente che si ha che \(-c = a + b\). Quindi sostituendo ricavi \((a,b,-a-b)\), cosa che hai già scritto tu. Ora lavora sui vettori e ricavi \((a,b,-a-b) = (a, 0, -a) + (0,b,-b) = a(1,0,-1) + b(0,1,-1)\) che è praticamente il risultato.

Sinceramente non capisco cosa non capisci: i passaggi erano quelli.