Esercizio: vettore isotropo e base del coniugato di un sottospazio
Ciao ragazzi,
Ho dei problemi con questo esercizio:
Si consideri la forma bilineare $ varphi(k) : R^3xxR^3 rarr R^3 $ canonicamente associata alla seguente matrice di Gram:
$ ( ( 2 , k^3+4k^2+k-5 , 0 ),( 1 , 2 , 0 ),( 0 , 0, k ) ) $
al variare del paramentro $ k $
a) Posto $ k=-2 $, determinare un vettore isotropo di $ varphi(-2) $.
b) Posto $ k=-3 $, determinare una base del coniugato rispetto a $ varphi(-3) $ del sottospazio $ U : x+2y-3z=0 $.
Io ho fatto in questo modo:
a) La matrice diventa
$ B= ( ( 2 , 1 , 0 ),( 1 , 2 , 0 ),( 0 , 0, -2 ) ) $
La forma bilineare è quindi : $ varphi (x,y,z),(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})= 2x*x^{\prime}+xy^{\prime}+yx^{\prime}+2yy^{\prime}-2zz^{\prime} $
Si deve trovare un vettore $ v$ tale che $ varphi(v,v)=0 $
$ (v,v)= ( x , y ,z ) *( ( 2 , 1 , 0 ),( 1 , 2 , 0 ),( 0 , 0, -2 ) )*( ( x ),( y ),( z ) ) $
quindi $ (v,v)=2x^2+xy+x+2y^2-2z^2=0 $
fisso le prime due coordinate come $ x=1=y $ e ottengo $ z=(3)^(1/2) $
Quindi un vettore isotropo è $ (1,1,3^(1/2)) $, infatti $ phi (1,1,3^(1/2)),(1,1,3^(1/2))= 0 $
E' corretto il procedimento?
b)La matrice diventa
$ C= ( ( 2 , 1 , 0 ),( 1 , 2 , 0 ),( 0 , 0, -3 ) ) $
La forma bilineare è quindi : $ varphi (x,y,z),(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})= 2x*x^{\prime}+xy^{\prime}+yx^{\prime}+2yy^{\prime}-3zz^{\prime} $
Trovo una base del sottospazio $ U $
$ (2,1,0) (3,0,1) $
Il coniugato del sottospazio rispetto a $ varphi(-3) $ è tale che:
$ phi (x,y,z),(2,1,0)= -4x+x-2y+2y=0 $
$ phi (x,y,z),(3,0,1)= 6x+3y-3z= 0 $
Quindi $ x=0, y=z $
Una base è data da $ (0,1,1) $
E' giusto?
Ho dei problemi con questo esercizio:
Si consideri la forma bilineare $ varphi(k) : R^3xxR^3 rarr R^3 $ canonicamente associata alla seguente matrice di Gram:
$ ( ( 2 , k^3+4k^2+k-5 , 0 ),( 1 , 2 , 0 ),( 0 , 0, k ) ) $
al variare del paramentro $ k $
a) Posto $ k=-2 $, determinare un vettore isotropo di $ varphi(-2) $.
b) Posto $ k=-3 $, determinare una base del coniugato rispetto a $ varphi(-3) $ del sottospazio $ U : x+2y-3z=0 $.
Io ho fatto in questo modo:
a) La matrice diventa
$ B= ( ( 2 , 1 , 0 ),( 1 , 2 , 0 ),( 0 , 0, -2 ) ) $
La forma bilineare è quindi : $ varphi (x,y,z),(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})= 2x*x^{\prime}+xy^{\prime}+yx^{\prime}+2yy^{\prime}-2zz^{\prime} $
Si deve trovare un vettore $ v$ tale che $ varphi(v,v)=0 $
$ (v,v)= ( x , y ,z ) *( ( 2 , 1 , 0 ),( 1 , 2 , 0 ),( 0 , 0, -2 ) )*( ( x ),( y ),( z ) ) $
quindi $ (v,v)=2x^2+xy+x+2y^2-2z^2=0 $
fisso le prime due coordinate come $ x=1=y $ e ottengo $ z=(3)^(1/2) $
Quindi un vettore isotropo è $ (1,1,3^(1/2)) $, infatti $ phi (1,1,3^(1/2)),(1,1,3^(1/2))= 0 $
E' corretto il procedimento?
b)La matrice diventa
$ C= ( ( 2 , 1 , 0 ),( 1 , 2 , 0 ),( 0 , 0, -3 ) ) $
La forma bilineare è quindi : $ varphi (x,y,z),(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})= 2x*x^{\prime}+xy^{\prime}+yx^{\prime}+2yy^{\prime}-3zz^{\prime} $
Trovo una base del sottospazio $ U $
$ (2,1,0) (3,0,1) $
Il coniugato del sottospazio rispetto a $ varphi(-3) $ è tale che:
$ phi (x,y,z),(2,1,0)= -4x+x-2y+2y=0 $
$ phi (x,y,z),(3,0,1)= 6x+3y-3z= 0 $
Quindi $ x=0, y=z $
Una base è data da $ (0,1,1) $
E' giusto?
Risposte
Il punto a) è ok (almeno nel procedimento, per i calcoli mi sono fidato 
), nel punto b c'è un errore: una base di $U$ è ${(-2 \ \ 1 \ \ 0)^T,(3 \ \ 0 \ \ 1)^T}$ e non ${(2 \ \ 1 \ \ 0)^T,(3 \ \ 0 \ \ 1)^T}$.
), nel punto b c'è un errore: una base di $U$ è ${(-2 \ \ 1 \ \ 0)^T,(3 \ \ 0 \ \ 1)^T}$ e non ${(2 \ \ 1 \ \ 0)^T,(3 \ \ 0 \ \ 1)^T}$.
Perfetto. E' stato solo un errore di scrittura 
, infatti il coniugato l'ho trovato rispetto alla base giusta
Grazie mille
, infatti il coniugato l'ho trovato rispetto alla base giustaGrazie mille
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