Esercizio Veloce
Ciao a tutti ,c'è questo esercizio ( molto breve ) che non sono riuscito a svolgere :
Esiste una matrice A ( appartente alle matrici 3x3 di R ) non nulla e tale che Im La è inclusa in Ker La ?
Grazie
Esiste una matrice A ( appartente alle matrici 3x3 di R ) non nulla e tale che Im La è inclusa in Ker La ?
Grazie
Risposte
Beh allora, proviamo così.
Supponiamo per assurdo \(\mathcal{R}(A) \subseteq \mathcal{N}(A)\). Ciò significa che esiste (almeno) un vettore \(\mathbf{v} \in \mathcal{R}(A) \ \wedge \ \mathbf{v} \in \mathcal{N}(A)\).
Sia \(\{\mathbf{a}_i\}_{i=1}^r\) una base di \(\mathcal{R}(A)\). Allora si scrive:
\[\mathbf{v} = \sum_{i=1}^r v_i \mathbf{a}_i\]
Ma d'altra parte \(\mathbf{v}\) sta anche nel nucleo:
\[A\mathbf{v} = \sum_{i=1}^r v_i \mathbf{a}_i = \mathbf{0}\]
Il che ovviamente contraddice l'ipotesi.
Che ti pare? Può andare?
Supponiamo per assurdo \(\mathcal{R}(A) \subseteq \mathcal{N}(A)\). Ciò significa che esiste (almeno) un vettore \(\mathbf{v} \in \mathcal{R}(A) \ \wedge \ \mathbf{v} \in \mathcal{N}(A)\).
Sia \(\{\mathbf{a}_i\}_{i=1}^r\) una base di \(\mathcal{R}(A)\). Allora si scrive:
\[\mathbf{v} = \sum_{i=1}^r v_i \mathbf{a}_i\]
Ma d'altra parte \(\mathbf{v}\) sta anche nel nucleo:
\[A\mathbf{v} = \sum_{i=1}^r v_i \mathbf{a}_i = \mathbf{0}\]
Il che ovviamente contraddice l'ipotesi.
Che ti pare? Può andare?
Se fosse Ker lA strettamente incluso in Im la , con A appartente alle matrici 3x3 ?
Beh se la matrice ha rango massimo si ha \(\mathcal{N}(A) = \text{Ker}(A) = \{\mathbf{0}\}\) che è banalmente incluso in \(\mathcal{R}(A) = \text{Im}(A)\).
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