Esercizio ultradifficile. Costruire un endomorfismo.

[rettile56]

Buongiorno a tutti, ho un esercizio difficile di cui non conosco la soluzione e mi chiedevo se c'è qualcuno che può aiutarmi:


Allora quello che ho fatto è stato prima di tutto scrivere quel poco di matrice che conoscevo tramite le indicazioni del punto 3.
In altre parole ho trovato che T(e1) = e1-2e2-T(e2)-T(e3) e mi sono inventato T(e2) e T(e3) scrivendoli come combinazione lineare di (e1) (e2) (e3) usando un mucchio di lettere greche.

Morale:
A= $ ( ( 1-alpha-delta , alpha , delta ),(-2-beta-psi , beta , psi ),( -gamma-phi , gamma , phi ) ) $

A questo punto ho usato il punto 1.
Prendo come autovalore 0 (ci mancava solo una lambda per finire tutto l'alfabeto..) e dico che le basi di V $ ( ( 1 ),( 0 ),( 2 ) ) , ( ( 0 ),( 1 ),( 1 ) ) $ sono le componenti dei vettori (x,y,z) tali che A*(x,y,z) = 0. Ripetendo la cosa per entrambi i vettori riesco ad assegnare un numero a tutte le lettere di cui sopra finendo per avere:

$ ( ( 1 , 1/2 , -1/2 ),( -2 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $

che in effetti non è diagonalizzabile e i cui autovettori sono (1/2 , 0, 1) e ( -1/2 , 1, 0) che in effetti si possono ottenere come combinazione lineare delle basi di V.

FINE.

È giusto....??

[Sk_Anonymous]

Puoi semplificare il procedimento ( ed evitare l'uso di tutte quelle lettere) facendo coincidere il sottospazio V con il kernell ( considerato come l'autospazio relativo all'autovalore nullo). Ovvero si può porre :
$T(0,1,1)=(0,0,0); T(1,0,2)=(0,0,0)$
Inoltre per ipotesi è : $T(1,1,1)=(1,-2,0)$ e quindi T è determinato .
Posto :
$(x,y,z)=a(0,1,1)+b(1,0,2)+c(1,1,1)$
con qualche calcolo risulta :
$(x,y,z)=(-x+1/2y+1/2z)(0,1,1)+(-1/2y+1/2z)(1,0,2)+(x+1/2y-1/2z)(1,1,1)$
e passando alle immagini :
$T(x,y,z)=(x+1/2y-1/2z,-2x-y+z,0)$
La matrice M associata a T è :
$M=((1,1/2,-1/2),(-2,-1,1),(0,0,0))$
che coincide con quella da te indicata.

[rettile56]

Ah bellissimo, in effetti così è più veloce...

Grazie mille!!