Esercizio Trasformazioni Lineari

Nex89
Considerata la base canonica $$ di $R^3$, siano

$u_1 = e_1 + e_2$
$u_2 = e_1 - e_2$
$u_3 = e_3$

Domande:

    a) Dimostrare che $B = $ è una base di R^3; determinare le coordinate del vettore $(1,1,1)$ rispetto a tale base.[/list:u:odlaxr3n]
      b) Determinare la matrice del cambiamento di base dalla base canonica alla base $$ e viceversa.[/list:u:odlaxr3n]
        c) Sia $F : R^3 ->R^3$ la trasformazione lineare rappresentata dalla matrice

        $((1/2,-1/2,1),(-1/2,1/2,1),(1/2,1/2,0))$

        (rispetto alla base $(e_1, e_2, e_3)$ per dominio e codominio).
        Determinare i vettori $F(u_1)$, $F(u_2)$, $F(u_3)$ e calcolare le loro coordinate rispetto alla base $B = $.[/list:u:odlaxr3n]
          d) Determinare $Ker(F)$, $Im(F)$ e la loro dimensione.[/list:u:odlaxr3n]
            e) Determinare la matrice B di F rispetto alla base $$ (per dominio e codominio).[/list:u:odlaxr3n]

            Con i primi due punti non ho nessun problema (ho scritto le soluzioni qui sotto). Qual è il miglior metodo per risolvere i punti c), d) ed e)?

Risposte
Nex89
Per quanto riguarda il punto a), per dimostrare che $B = $ è una base di $R^3$ ci basta dimostrare che la matrice $A = [||u_1||^{\epsilon3}, ||u_2||^{\epsilon3}, ||u_3||^{\epsilon3}]$ è invertibile.

Per farlo, trovo il determinante della matrice A: $det(A) = -2$. Essendo quest'ultimo diverso da zero abbiamo che la matrice è invertibile e, quindi, è una base di $R^3$.

Nex89
Per quanto riguarda il punto b) Calcolo le matrici di cambiamento $M_\epsilon^B$ ed $M_B^\epsilon$:

$M_\epsilon^B = ((1,1,0),(1,-1,0),(0,0,1))$

mentre $M_B^\epsilon$ è uguale all'inversa di $M_\epsilon^B$. Quindi, dopo opportuni calcoli:

$M_B^\epsilon = ((1/2,1/2,0),(1/2,-1/2,0),(0,0,1))$

vict85
[xdom="vict85"]Sposto in geometria e algebra lineare.[/xdom]

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