Esercizio Trasformazione Lineare

[geomematica]

salve, vorrei proporvi questo quesito:

Sia $ f $ l'endomorfismo di $ R^3 $ definito nel modo seguente: $ f(x,y,z) = (-z,y,-x) $

determinare, se esiste, un sottospazio $ W $ di $ R^3 $ tale che $ f(W) = W $



non capisco di preciso cosa devo fare, potrei trovare gli autovettori, gli autovalori e gli autospazi eventualmente però mi chiede nel secondo punto, che qui non cito, di dimostrarne la diagonalizzabilità, quello lo so fare, ma questo direi di no, chiedo aiuto...

[Gi81]

Per capire questo esercizio è meglio se prima rispondi a questa domanda:
Riesci a trovare un vettore $v in RR^3$ tale che $f(v)=v$?

[geomematica]

ad occhio direi che $ (0,1,0) $ se sostituito in $ f $ da sempre $ (0,1,0) $ però più in generale coi calcoli non saprei, magari siccome $ f(v) = v $ posso dedurre $ f(v)-v=0 $

quindi $ { ( -z-x=0 ),( y-y=0 ),( -x-z=0 ):} $ dunque dato che una equazione è ridondante viene $ x=-z $ quindi forse il sottospazio $ W $ potrebbe essere determinato da $ (k,h,-k) $ e siccome di dimensione 2, generato

da $ Span({(1,0,1),(0,1,0)}) $ quindi tornerebbe anche la deduzione iniziale fatta a caso....potrebbe funzionare??

[Gi81]

Intuizione esatta e procedimento corretto. Hai fatto solo un piccolo errore, un errore di segno:
poichè deve essere $x= -z$, allora la soluzione sarà $ Span({(1,0,-1),(0,1,0)}) $ e non $ Span({(1,0,1),(0,1,0)}) $
In ogni caso, bravo

[geomematica]

grazie, ma soprattutto grazie per il consiglio....siccome mi sembri molto ferrato sull'argomento ti vorrei chiedere se sei in grado di trovare la distanza tra queste due rette:

r: $\{(x+2z=2),(3x+z=-1):}$

s: $\{(y+z=0),(x-3z=0):}$

perchè è da un po' che ci sono su e proprio non mi viene in mente nulla, cioè potrei scrivere le equazioni in forma parametrica poi magari servono i coefficienti direttivi però ho le idee un po' confuse...