Esercizio topologia su compattezza

[feddy]

Sia $Y=(RR,\tau)$, dove $\tau$ ha come aperti non banali le semirette $(-\infty,h), h \in RR$.
Sia $ X=(RR, \tau_e)$, con $\tau_e$ la topologia euclidea standard.

Consideriamo $X xx Y$ con la topologia prodotto e un suo sottospazio $ S=[0,1] xx ((0,2) \cup [3,5]) $, con la topologia indotta.

1. $S$ è di Hausdorff?
2. $S$ è compatto?

Proof.:

1)
$S$ non è di Hausdorff: se per esempio prendo i punti $P=(1/2,4)$ e $Q=(1/2,1)$, allora si vede che esistono intorni di questi due punti non disgiunti $U=(0.3,0.4) xx (- \infty,4.5)$ e $V=(0.3,0.4) xx (-\infty,1.5)$.

2)
$S$ è compatto se e solo se $[0,1]$ compatto e $(0,2) \uu [3,5]$ compatto.
Il primo è evidentemente compatto.

Devo mostrare che $S'= (0,2) \uu [3,5]$ è compatto.

Sia $R={U_i}_{i \in I}$ un ricoprimento aperto di $S'$. Qui ora ho la topologia indotta da $\tau$, pertanto gli aperti sono intersezioni di semirette (aperte a sinistra con l'estremo destro escluso) con l'intervallo $S'$.
Quindi posso sempre estrarre un ricoprimento finito dato da $(0,2)= (-\infty,2) \cap S' $ e dato da $(-\infty,5) \cap [3,5]=[3,5)$. A sto punto mi manca solo {5}... come faccio a prenderlo?

Grazie per l'attenzione, buona giornata

[Trilogy]

"feddy":1)
$ S $ non è di Hausdorff: se per esempio prendo i punti $ P=(1/2,4) $ e $ Q=(1/2,1) $, allora si vede che esistono intorni di questi due punti non disgiunti $ U=(0.3,0.4) xx (- \infty,4.5) $ e $ V=(0.3,0.4) xx (-\infty,1.5) $.

Sei sicuro? Anche in $\mathbb R$ euclideo ci sono intorni non disgiunti di punti diversi, ma è di Hausdorff.

Nella domanda 2) c'è "connesso" o "compatto"??

"feddy":2)
$ S $ è compatto se e solo se $ [0,1] $ compatto e $ (0,2) \uu [3,5] $ compatto.
Il primo è evidentemente compatto.

D'accordo.

"feddy":
Devo mostrare che $ S'= (0,2) \uu [3,5] $ è compatto.

Sia $ R={U_i}_{i \in I} $ un ricoprimento aperto di $ S' $. Qui ora ho la topologia indotta da $ \tau $, pertanto gli aperti sono intersezioni di semirette (aperte a sinistra con l'estremo destro escluso) con l'intervallo $ S' $.
Quindi posso sempre estrarre un ricoprimento finito dato da $ (0,2)= (-\infty,2) \cap S' $ e dato da $ (-\infty,5) \cap [3,5]=[3,5) $.

Perché? Ad esempio un ricoprimento aperto (un po' scemo) è dato dall'insieme che ha come unico elemento tutto lo spazio. Da quello come estrai questi insiemi che dici?

[feddy]

Parto con la seconda parte.
Evidentemente se ho preso un ricoprimento aperto allora questo deve per forza contenere anche $5$, quindi un sottoricoprimento finito è dato banalmente da $(-\infty,h)$, con $h>5$.

Per la prima parte sinceramente non capisco: se trovi due punti che non hanno intorni disgiunti allora questo non è $T2$ ...

[feddy]

Grazie per avermi fatto notare l'errore nel titolo: ho modificato

[Trilogy]

"feddy":
Evidentemente se ho preso un ricoprimento aperto allora questo deve per forza contenere anche $5$, quindi un sottoricoprimento finito è dato banalmente da $(-\infty,h)$, con $h>5$.

Cosa vuol dire che contiene $5$? E $h$ come lo trovi?

"feddy":
Per la prima parte sinceramente non capisco: se trovi due punti che non hanno intorni disgiunti allora questo non è $T2$ ...

Questo è giusto, ma tu hai detto che ci sono due punti che hanno intorni non disgiunti.

[feddy]

Contiene $5$ nel senso che se prendo un ricoprimento deve prendere coprire anche ${5}$.

Per quanto riguarda la questione $T_2$... io volevo esibire due punti $P$ e $Q$ tali che nessun loro intorno fosse disgiunto perché ogni intorno di uno dei due interseca necessariamente anche l'altro.

[feddy]

Non ho capito cosa intendi con "come trovi $h$?"

Può essere $h="sup" {x \in RR:x<5}$ ?

[Trilogy]

Va bene;

mi sono accanito un po' solo perché nel primo messaggio c'era solo l'esistenza di due punti per cui esistono intorni non disgiunti, ma chiaramente sai che devono essere tutti non disgiunti. Per la storia del ricoprimento anche hai evidentemente capito, volevo solo vedere esplicitamente il fatto apparentemente ovvio che almeno un intorno del tipo $(-\infty,h)$ con $h>5$ sta nel ricoprimento. Mi rendo conto che sia un esercizio da primo mese di università, ma uno deve sempre essere pronto a motivare anche le banalità più disarmanti. Alla prossima!

[feddy]

Grazie mille ! Esplicitare il fatto che dovesse starci anche $5$ tramite il sup mi è servito e per questo ti ringrazio. Per quanto riguarda $T_2$ effettivamente sono stato impreciso, grazie