Esercizio topologia più grande e più piccola
Sto svolgendo gli esercizi del primo capitolo del libro General Topology di John Kelley, ma non capisco questa affermazione che dovrei dimostrare: "For any collection of topologies for $X$ there is a unique largest topology which is smaller than each member of the collection, and a unique smallest topology which is larger than each member of the collection."
Risposte
[xdom="Mephlip"]@Cannone Speciale: Le domande di topologia appartengono alla sezione di Geometria.[/xdom]
E’ semplicemente una domanda scritta in modo molto colloquiale. Traduco. Sia $X$ uno spazio topologico e sia $\{T_i\}_{i \in I}$ una famiglia di topologie su $X$. Sia $\{U_j\}_{j\in J}$ la collezione di tutte le topologie su $X$ con la proprietà che $U_j\subseteq T_i$ per ogni $i,j$. Allora $\{U_j\}_{j\in J}$ contiene un unico elemento massimale, rispetto alla relazione d’ordine data dall’inclusione. L’altra parte e’ simmetrica.
"hydro":
E’ semplicemente una domanda scritta in modo molto colloquiale. Traduco. Sia $X$ uno spazio topologico e sia $\{T_i\}_{i \in I}$ una famiglia di topologie su $X$. Sia $\{U_j\}_{j\in J}$ la collezione di tutte le topologie su $X$ con la proprietà che $U_j\subseteq T_i$ per ogni $i,j$. Allora $\{U_j\}_{j\in J}$ contiene un unico elemento massimale, rispetto alla relazione d’ordine data dall’inclusione. L’altra parte e’ simmetrica.
Anche questo è un po' colloquiale, infatti c'è differenza tra elemento massimale e massimo: un elemento massimale di un ordine parziale \((P,\le)\) è un elemento \(x\in P\) tale che se \(x\le a\) allora \(a\le x\) (e quindi \(a=x\): "niente che sia confrontabile con $x$, e maggiore di $x$, può essere diverso da $x$"). Per contro, la condizione di essere un massimo non richiede la precondizione "essere confrontabile": dato un sottoinsieme \(S\subseteq P\), il massimo di $S$, se esiste, è un elemento \(s^*\in S\) tale che \(a\le s^*\) per ogni \(a\in S\), e tale che, per ogni altro \(y\), se \(a\le y\) per ogni $a$, allora \(s^*\le y\).
Che ci sia differenza tra un elemento massimale ed un massimo lo so anch'io; d'altra parte un massimo è anche massimale quindi la formulazione della domanda non ha granchè di colloquiale, semplicemente è uno statement un po' più debole.
Facciamo l'esercizio.
Sull'insieme \(PPX\) delle parti delle parti di un insieme $X$ è definita una relazione d'ordine parziale detta "finezza": un insieme di sottoinsiemi \(\mathcal E=\{E_\alpha\mid \alpha\in A\}\) è più fine di un insieme di sottoinsiemi \(\mathcal F=\{F_\beta\mid \beta \in B\}\) se \(\mathcal E\subseteq\mathcal F\).
Ora, è evidente che, essendo un reticolo completo, \(PPX\) ammette sup e inf arbitrari; resta da controllare che la definizione di sup e inf di topologie definisce a sua volta una topologia.
Del resto, data una famiglia \(\{\tau_\alpha\mid \alpha\in A\}\) di topologie su $X$, si ha
\[\bigwedge_{\alpha\in A}\tau_\alpha = \{U\subseteq X\mid \forall \alpha\in A.U\in \tau_\alpha\}\] Mostrare che questa è una topologia è semplicemente una verifica degli assiomi.
Con i sup è piu complicato: \(\bigvee_{\alpha\in A} \tau_\alpha = \{U\subseteq X\mid \exists \alpha\in A.U\in \tau_\alpha\}\) potrebbe non essere una topologia, ma la famiglia di sottoinsiemi ottenuta prendendo intersezioni finite di unioni arbitrarie di elementi di \(\bigvee_{\alpha\in A} \tau_\alpha\).
Sull'insieme \(PPX\) delle parti delle parti di un insieme $X$ è definita una relazione d'ordine parziale detta "finezza": un insieme di sottoinsiemi \(\mathcal E=\{E_\alpha\mid \alpha\in A\}\) è più fine di un insieme di sottoinsiemi \(\mathcal F=\{F_\beta\mid \beta \in B\}\) se \(\mathcal E\subseteq\mathcal F\).
Ora, è evidente che, essendo un reticolo completo, \(PPX\) ammette sup e inf arbitrari; resta da controllare che la definizione di sup e inf di topologie definisce a sua volta una topologia.
Del resto, data una famiglia \(\{\tau_\alpha\mid \alpha\in A\}\) di topologie su $X$, si ha
\[\bigwedge_{\alpha\in A}\tau_\alpha = \{U\subseteq X\mid \forall \alpha\in A.U\in \tau_\alpha\}\] Mostrare che questa è una topologia è semplicemente una verifica degli assiomi.
Con i sup è piu complicato: \(\bigvee_{\alpha\in A} \tau_\alpha = \{U\subseteq X\mid \exists \alpha\in A.U\in \tau_\alpha\}\) potrebbe non essere una topologia, ma la famiglia di sottoinsiemi ottenuta prendendo intersezioni finite di unioni arbitrarie di elementi di \(\bigvee_{\alpha\in A} \tau_\alpha\).
megas_archon io vorrei poterti ringraziare per le risposte che mi dai, ma ogni volta sembra che fai apposta a renderle incomprensibili usando concetti avanzati che ancora non conosco e alla fine le tue risposte per me sono inutili. In questo caso non so cosa sia un reticolo completo.
Inoltre vorrei anche far notare forse un errore nella tua risposta: l'unione di topologie non è detto che sia una topologia, mentre l'intersezione si.
Inoltre vorrei anche far notare forse un errore nella tua risposta: l'unione di topologie non è detto che sia una topologia, mentre l'intersezione si.
E' vero, in generale l'unione di topologie è solo una sottobase. Dopo devi considerare la topologia che ha quella come sottobase.
Per quanto riguarda questo:
Per quanto riguarda questo:
ogni volta sembra che fai apposta a renderle incomprensibili usando concetti avanzati che ancora non conoscoè evidente che lo faccio apposta...
e qual è allora il tuo scopo a farlo apposta?
[ot]
Soprattutto, tu (=il tu generico che apre i thread, non tu-tu) sei raramente l'interlocutore di queste conversazioni: ci sono molti modi di risolvere un esercizio, uno può semplicemente farlo, mediante strumenti adeguati al livello del richiedente, oppure brutalizzare il richiedente con un argomento che cerca di essere quanto piu astratto possibile. Senza contare che gli esercizi, qui, chiedono quasi sempre le stesse quattro cose, serve inventarsi un modo sempre nuovo di rispondere, per non annoiarsi.
Io parlo a chi trova gradevole o utile la seconda cosa. E a me stesso: come hai visto, è facile fare degli errori quando si propone una linea di ragionamento eminentemente astratta. Rispondere a domande elementari usando ordigni atomici è, per me, un esercizio utile a farlo sempre meglio e con forza sempre maggiore. Nel caso avessi dei dubbi, sta sicuro che di te o di aiutare te mi importa esattamente zero. Mi importa di me, e di quanto sono padrone io dei concetti che uso, e di come operare sul margine di miglioramento che ancora ho.
In sintesi, questa è una via di mezzo tra masturbazione, automiglioramento, adescamento e una prova di taglio.[/ot]
"Cannone Speciale":Costringerti a incontrare concetti troppo avanzati, facendoti violenza; dalla tua reazione (li eviti perché ne sei intimidito, o al contrario te ne senti stimolato, o qualsiasi reazione intermedia) deduco la forza del tuo carattere e se, in futuro, è una perdita di tempo o no prestarti attenzione.
e qual è allora il tuo scopo a farlo apposta?
Soprattutto, tu (=il tu generico che apre i thread, non tu-tu) sei raramente l'interlocutore di queste conversazioni: ci sono molti modi di risolvere un esercizio, uno può semplicemente farlo, mediante strumenti adeguati al livello del richiedente, oppure brutalizzare il richiedente con un argomento che cerca di essere quanto piu astratto possibile. Senza contare che gli esercizi, qui, chiedono quasi sempre le stesse quattro cose, serve inventarsi un modo sempre nuovo di rispondere, per non annoiarsi.
Io parlo a chi trova gradevole o utile la seconda cosa. E a me stesso: come hai visto, è facile fare degli errori quando si propone una linea di ragionamento eminentemente astratta. Rispondere a domande elementari usando ordigni atomici è, per me, un esercizio utile a farlo sempre meglio e con forza sempre maggiore. Nel caso avessi dei dubbi, sta sicuro che di te o di aiutare te mi importa esattamente zero. Mi importa di me, e di quanto sono padrone io dei concetti che uso, e di come operare sul margine di miglioramento che ancora ho.
In sintesi, questa è una via di mezzo tra masturbazione, automiglioramento, adescamento e una prova di taglio.[/ot]
Capisco le tue motivazioni, le trovo ragionevoli. Grazie per il chiarimento, almeno da ora non prenderò sul personale le tue risposte "aggressive".
Credo di essere a riuscito a risolvere l'esercizio. Prima volevo capire se ho interpretato bene alcuni concetti detti nei messaggi precedenti. La famiglia di insiemi $ {U_j}_{j in J} $ sottoinsieme dell'insieme delle topologie su $X$ sarebbe un sottoinsieme dell'insieme delle parti dell'insieme delle parti di $X$, cioè $ {U_j}_{j in J} sube \mathcal(P)(\mathcal(P) (X)) $, giusto?
Detto questo dimostro che l'intersezione dei $T_i$ è il massimo degli ${U_j}_{j in J}$: dato che $ U_j sube T_i AA i,j $ allora $ U_j sube bigcap_{i in I} T_i AA j in J $ ciò dimostra che $bigcap_{i in I} T_i $ è maggiorante di ${U_j}_{j in J}$; d'altra parte $bigcap_{i in I} T_i sube T_i AA i in I $ quindi $bigcap_{i in I} T_i AA j in J $ appartiene pure alla famiglia degli $U_j$ quindi è anche massimo di ${U_j}_{j in J}$
Analogamente se ho che ${U_j}_{j in J}$ è un sottoinsieme di $mathcal(P)(\mathcal(P) (X)) $ tale che $ T_i sube U_j AA i,j$ allora anche in questo caso $T_i sube bigcap_j U_j AA i in I$ quindi l'intersezione degli $U_j$ appartiene alla famiglia ${U_j}_{j in J}$, d'altra parte $bigcap_j U_j sube U_m AA m in J$ quindi è minimo di ${U_j}_{j in J}$
Detto questo dimostro che l'intersezione dei $T_i$ è il massimo degli ${U_j}_{j in J}$: dato che $ U_j sube T_i AA i,j $ allora $ U_j sube bigcap_{i in I} T_i AA j in J $ ciò dimostra che $bigcap_{i in I} T_i $ è maggiorante di ${U_j}_{j in J}$; d'altra parte $bigcap_{i in I} T_i sube T_i AA i in I $ quindi $bigcap_{i in I} T_i AA j in J $ appartiene pure alla famiglia degli $U_j$ quindi è anche massimo di ${U_j}_{j in J}$
Analogamente se ho che ${U_j}_{j in J}$ è un sottoinsieme di $mathcal(P)(\mathcal(P) (X)) $ tale che $ T_i sube U_j AA i,j$ allora anche in questo caso $T_i sube bigcap_j U_j AA i in I$ quindi l'intersezione degli $U_j$ appartiene alla famiglia ${U_j}_{j in J}$, d'altra parte $bigcap_j U_j sube U_m AA m in J$ quindi è minimo di ${U_j}_{j in J}$
Semmai l'intersezione sarà il minimo...
nel primo caso l'intersezione dei $T_i$ è il massimo dei ${U_j}_{j in J}$ mentre nel secondo è l'intersezione dei $U_j$ che minimo dei ${U_j}_{j in J}$, mi sembra giusto
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