Esercizio topologia e continuità
1)Sia $A_(nat)$ la topologia naturale di $R^2$. Se da $A_(nat)$ togliamo gli aperti propri contenenti (0,0) otteniamo una famiglia di parti di $R^2$ che indicheremo con $A$.
a)Provare che $A$ è una topologia per $R^2$.
b)Studiare connessione e compattezza.
c)Esibire un sottospazio di $R^2$ sconnesso in $A_(nat)$ ma connesso in $A$.
d)Esibire una successione convergente in $A$ ma non in $A_(nat)$
2)Sia f la funzione di $R$ in $R^2$ definita ponendo f(x)=(x,x). Studiare la continuità nei casi:
a) R ha la topologia naturale ed $R^2$ la topolofia $A$
b) R ha la topologia indotta da $A$, mentre $R^2$ ha la topologia naturale.
SVOLGIMENTO
QUESTO LO VEDO TOSTO...pertanto...pensieri in libertà XD)
a) Allora $A$ è una topologia per $R^2$, poichè rispetta tutti gli assiomi topologici: $R^2$ e il vuoto sono aperti di $A$ poichè sottoinsiemi non propri di $R^2$ ed aperti di $A_(nat)$ .
L'intersezione di due elementi di tale famiglia è ancora un aperto proprio di $R^2$ che non incontra (0,0); idem per l'unione.
b) Uno spazio topologico S è connesso se non è unione di due aperti(chiusi) disgiunti; o equivalentemente non esistono sottoinsiemi propri di S ad essere aperti e chiusi.
Qui aperti disgiunti la cui unione sia $R^2$ non esistono sicuramente, visto che a tali aperti manca sicuramente il punto (0,0). DUnque lo spazio è connesso.
Uno spazio topologico è compatto se da ogni ricoprimento di $R^2$, riesco ad estrarre un sottoricoprimento finito per $R^2$. Per quanto detto durante lo studio della connessione, negli elementi della base, ci deve essere sicuramente un aperto che contiene (0,0); l'unico aperto soddisfacente a tale requisito è $R^2$; allora necessariamente $R^2$ deve trovarsi nella base. Quindi da tale base, posso estrarre un ricoprimento finito per $R^2$; e tale ricoprimento è costiutito da $R^2$ stesso. Allora sicuramente lo spazio topologico è compatto.
c) Allora, devo ragionare come segue: devo prendere un insieme che nella topologia naturale è unione di due aperti disgiunti, mentre nella $A$ non è unione di due aperti disgiunti. Allora, un esempio di insieme sconnesso di $R^2$ è l'unione disgiunta di due dischi. Prendo uno di tali dischi passante per (0,0). Bene, l'unione disgiunta di un qualunque disco non passante per l'origine con un disco passante per l'origine è un connesso di $A$ poichè, infatti tale insieme non può essere ottenuto come unione di due aperti disgiunti ($R^2$ è l'unico aperto contenente (0,0)).
d)$A$ a è meno fine di $A_nat$, quindi una siffatta successione può esistere. Basta prendere una qualunque successione divergente in $A_nat$ in quanto $R^2$, essendo elemento della base, sarà intorno di ogni punto della successione.
2) a) la f è continua poichè $A$ è meno fine di $A_nat$ e nulla cambia, per quanto concerne la continuità, se al codominio sotituisco una topologia meno fine rispetto a quella di partenza; quindi, essendo continua f di $(R,A_(nat))$ in $(R^2, A_(nat))$ sarà continua anche di $R$ in $(R^2,A)$.
b) Allora gli aperti della topologia indotta sono l'intersezione di ogni aperto di $A$ con $R$, quindi, sono $R$, il vuoto, e gli intervalli aperti non passanti per l'origine (ecco...forse). Dunque questa topologia è meno fine della naturale, ma la naturale non è meno fine di questa poichè gli intervalli per (0,0) non sono aperti di $A$. Allora, per vere se f è continua devo vedere se la controimmagine di ogni aperto di $R^2$ è un aperto di $R$, beh, questo non accade, poichè la controimmagine di un disco passante per l'origine è un intervallo passante per l'origine, che non è un aperto della topologia indotta
Speriamo....
a)Provare che $A$ è una topologia per $R^2$.
b)Studiare connessione e compattezza.
c)Esibire un sottospazio di $R^2$ sconnesso in $A_(nat)$ ma connesso in $A$.
d)Esibire una successione convergente in $A$ ma non in $A_(nat)$
2)Sia f la funzione di $R$ in $R^2$ definita ponendo f(x)=(x,x). Studiare la continuità nei casi:
a) R ha la topologia naturale ed $R^2$ la topolofia $A$
b) R ha la topologia indotta da $A$, mentre $R^2$ ha la topologia naturale.
SVOLGIMENTO
QUESTO LO VEDO TOSTO...pertanto...pensieri in libertà XD)a) Allora $A$ è una topologia per $R^2$, poichè rispetta tutti gli assiomi topologici: $R^2$ e il vuoto sono aperti di $A$ poichè sottoinsiemi non propri di $R^2$ ed aperti di $A_(nat)$ .
L'intersezione di due elementi di tale famiglia è ancora un aperto proprio di $R^2$ che non incontra (0,0); idem per l'unione.
b) Uno spazio topologico S è connesso se non è unione di due aperti(chiusi) disgiunti; o equivalentemente non esistono sottoinsiemi propri di S ad essere aperti e chiusi.
Qui aperti disgiunti la cui unione sia $R^2$ non esistono sicuramente, visto che a tali aperti manca sicuramente il punto (0,0). DUnque lo spazio è connesso.
Uno spazio topologico è compatto se da ogni ricoprimento di $R^2$, riesco ad estrarre un sottoricoprimento finito per $R^2$. Per quanto detto durante lo studio della connessione, negli elementi della base, ci deve essere sicuramente un aperto che contiene (0,0); l'unico aperto soddisfacente a tale requisito è $R^2$; allora necessariamente $R^2$ deve trovarsi nella base. Quindi da tale base, posso estrarre un ricoprimento finito per $R^2$; e tale ricoprimento è costiutito da $R^2$ stesso. Allora sicuramente lo spazio topologico è compatto.
c) Allora, devo ragionare come segue: devo prendere un insieme che nella topologia naturale è unione di due aperti disgiunti, mentre nella $A$ non è unione di due aperti disgiunti. Allora, un esempio di insieme sconnesso di $R^2$ è l'unione disgiunta di due dischi. Prendo uno di tali dischi passante per (0,0). Bene, l'unione disgiunta di un qualunque disco non passante per l'origine con un disco passante per l'origine è un connesso di $A$ poichè, infatti tale insieme non può essere ottenuto come unione di due aperti disgiunti ($R^2$ è l'unico aperto contenente (0,0)).
d)$A$ a è meno fine di $A_nat$, quindi una siffatta successione può esistere. Basta prendere una qualunque successione divergente in $A_nat$ in quanto $R^2$, essendo elemento della base, sarà intorno di ogni punto della successione.
2) a) la f è continua poichè $A$ è meno fine di $A_nat$ e nulla cambia, per quanto concerne la continuità, se al codominio sotituisco una topologia meno fine rispetto a quella di partenza; quindi, essendo continua f di $(R,A_(nat))$ in $(R^2, A_(nat))$ sarà continua anche di $R$ in $(R^2,A)$.
b) Allora gli aperti della topologia indotta sono l'intersezione di ogni aperto di $A$ con $R$, quindi, sono $R$, il vuoto, e gli intervalli aperti non passanti per l'origine (ecco...forse). Dunque questa topologia è meno fine della naturale, ma la naturale non è meno fine di questa poichè gli intervalli per (0,0) non sono aperti di $A$. Allora, per vere se f è continua devo vedere se la controimmagine di ogni aperto di $R^2$ è un aperto di $R$, beh, questo non accade, poichè la controimmagine di un disco passante per l'origine è un intervallo passante per l'origine, che non è un aperto della topologia indotta
Speriamo....
Risposte
Ciao! I punti 1c e 2b sono sbagliati, il resto è giusto.
Ok, allora ragiono sui punti 1c e 2b e li modifico..., fammi sapere se poi li ho fatti bene.
Ecco, ho modificato.
Ecco, ho modificato.
Sì ora va bene. Per il punto 1c potevi semplicemente prendere "due punti", cioè un sottospazio della forma [tex]\{O,P\}[/tex] dove [tex]O[/tex] è l'origine e [tex]P[/tex] è un punto distinto dall'origine. Tale sottospazio è evidentemente connesso per A ma non per la topologia naturale.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo